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bijektiv
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Roberto
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 20:14:19    Titel: bijektiv

Hallo! Wie zeigt man, dass die Abbildung
p:N*N--N , p(n,m):=1/2*(n+m+1)*(n+m)+n Rolling Eyes
Gast







BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 20:33:32    Titel:

Es muss bewiesen werden, dass die Abbildung bijektiv ist.
Gast







BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 21:59:18    Titel:

es ist zu zeigen, dass wenn f(m1,n1) = f(m2,n2) ist, dass dann auch m1=m2 und n1=n2 ist (injektivität)

und dass jedes n element |N darstellbar ist als 1/2*(n+m+1)*(n+m)+n (surjektivität)
algebrafreak
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 22:13:28    Titel:

Ist eigentlich nur Rechnerei, falls es überhaupt stimmt.Smile
Gast







BeitragVerfasst am: 12 Nov 2004 - 15:34:59    Titel:

Und wie geht das?
xaggi
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2004 - 18:05:06    Titel:

Hi, hab zufällig die selbe Aufgabe gekriegt und es ist eben leider nicht nur Rechnerei. Jedenfalls hab ich keine Möglichkeit gefunden mit bloser Rechnerei.

Also ich hab einen (zugegebenermaßen) sehr umständlichen Beweis mithilfe zweier Folgen gewählt:

Man definiert:
Folge x(n) mit x(0) = 0 und
x(n+1)=x(n) - 1 für x(n) > 0
x(n+1)=y(n) + 1 für x(n) = 0

Folge y(n) mit y(0) = 0 und
y(n+1)=y(n) + 1 für x(n) > 0
y(n+1)=0 für x(n) = 0

a) Für alle n aus N gilt: f(x(n), y(n)) = n
=> Beweis durch vollständige Induktion

b) Die Abblildung N -> NxN mit g(n) = (x(n),(y(n)) ist bijektiv. Beweise durch Vollständige Induktion zuerst:
Wenn (0,b) existiert, existiert auch (0,b+1) und zwischen (0,b) und (0,b+1) gibt es kein weiteres (0,z).
Dann:
Wenn (a,b) existiert, existiert (a+1,b) und es gibt zwischen (a,b) und (a+1,b) kein weiteres (z,b)

c) g(n) ist die Umkehrabbildung von f(x,y), denn es gilt:
g(f(x(n),y(n)) = g(n) = (x(n),y(n))

Damit ist auch f bijektiv.


Über Kommentare würde ich mich freuen.
Gast







BeitragVerfasst am: 12 Nov 2004 - 18:12:37    Titel:

Ich danke dir! Very Happy Smile
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