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Ungleichung aufstellen..
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Sinchen
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Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 36
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 20:33:38    Titel: Ungleichung aufstellen..

Hallöchen allerseits,

ich tüftele hieran einer Matheaufgabe, die eigentlich gar nicht so schwer klingt, aber ich komme einfach nicht dahinter. Könnt ihr mir vielleicht einen Denkanstoß geben?

"Beweisen Sie, dass unter allen Rechtecken mit gegebenem Umfang dasjenige die größte Fläche besitzt, das ein Quadrat ist."


Also ich weiß ja schon mal, dass man für das Quadrat dem Umfang mit u = 4a und die Fläche mit A = a² berechnet. Und beim Rechteck ist es u = 2(a+b) und A= ab.
Jetzt hab ich überlegt das irgendwie alles umzustellen und in eine Ungleichung zu packen. Aber mir fehlt so die Idee, ob ich jetzt alle vier Formeln brauche oder nur die für den Umfang oder die Fläche..
Könnt ihr mir einen kleinen Tip geben?

Danke!!

Sinchen
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 20:49:37    Titel:

da der umfang gegeben ist, ist u ne konstante und du kannst z.b. a nur in funktion von b ausdrücken:
b= u/2 -a
das setzt du nun in a ein, und dann ist deine fläche nur ne funktion von a
A(a) = a (u/2 -a) = au/2 -a²

du suchst das minimum, also muss die ableitung null sein
A' = u/2 -2a
A'=0 <=> a = u/4
und für b sindest du dann
b = u/2 -u/4 =u/4 =a
Sinchen
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Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 36
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2004 - 00:08:38    Titel: halbwegs klar

Danke!! Den Rechenweg kann ich nachvollziehen. Mein einziges (kleines) Problem besteht darin - und das wusste ich schon zu Schulzeiten nicht: warum muss ich die 1. Ableitung 0 setzen?? Was bedeutet das?

Man mag mich für doof halten :-/ Gebt mir trotzdem ne Antwort Smile)

Sinchen
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2004 - 00:20:27    Titel:

hm... dann wirst du es bald verstehn, denn das werdet ihr sicher bald in analysis beweisen.

es gilt nämlich:
wenn f ein extremum in nem punkt a hat, dann muss f'(a) = 0.

das ist an sich sehr anschaulich... in einem extremum muss deine funktion ne waagerechte tangente haben.... anders gehts ja nicht...

die umkehrung gilt eigentlich nicht... wenn f'(a)=0 bedeutet das an sich nicht dass f in a ein extremum hat... es bedeutet ja nur dass du da ne waagerechte tangente hast... dies kann genausogut ein wendepunkt sein...

wenn du also ein extremum einer funktion suchst, braucht du also nur die ableitung gleich null setzen... die lösungen dieser gleichungen geben dir dann mögliche kandidaten für deine extrema... obs nun auch eins ist, oder nur einfach ein wendepunkt mit waagerechter tangente, und wenn es eins ist, was für eins (max oder min) das muss dann noch einzels geprüft werden.

nur ganz oft kommt es vor (so wie hier) dass du weisst dass deine funktion ein minimum hat... du löst dann f'(a) = 0 auf... du hast nur eine lösung... also muss das das gesuchte minimum sein!

hat dir das geholfen...?
Sinchen
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Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 36
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2004 - 00:25:25    Titel:

Ich denke schon Smile Nehme an, dass der Anstieg der Tangente in dem Punkt 0 ist, da sie waagerecht zur x-Ache ist. Stimmts?!

Na ja, ist schon spät.. ich schaus mir morgen noch mal in Ruhe an. Denke aber, dass mir deine Sätze sehr geholfen haben!!

Danke!! Und gute Nacht Wink

Sinchen
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