Grenzwert - Grenznutzen ?

EinstürzendeNeubauten · Senior Member Anmeldungsdatum: 29.08.2006 Beiträge: 358

Hi,

der Grenznutzen beschreibt doch den zusätzlichen Nutzen, den eine weitere Einheit stiftet. Das heißt beispieslweise, wenn ich 5 Brotscheiben essen will, dann ist der Grenznutzen des ersten Brotes sehr hoch, da ich noch großen Hunger hab. Er nimmt dann pro Brot immer weiter ab, bis der Sättigungspunkt, d.h. ein Grenznutzen von Null, also wenn kein zusätzlicher Nutzen mehr entsteht, erreicht ist.

Ich habe mal gehört, dies käme vom Grenzwert in der Mathematik. Wir haben in Mathe noch nicht so lange Grenzwert, haben aber praktisch die Defintion, dass der Grenzwert ein Wert ist, welchem man sehr nahe kommen kann, aber nie vollständig erreichen kann. Wenn man beispielsweise die Funktionsgleichung
f(x) = 1/x hat, und wenn x gegen plus unendlich geht, dann wird ja der gesamte Wert (y) sehr klein, fast null, aber eben nicht ganz => Grenzwert von Null.

Aber wo ist da die Verbindung zwischen Grneznutzen und Grenzwert?
Einmal die Defintion, der Zunahme eines Wertes pro Einheit (Grenznutzen); einmal ein Wert, der nicht erreicht wird. Was hat das eine mit dem anderen zu tun?

Vielen Dank

coffeinjunky · Senior Member Anmeldungsdatum: 27.07.2005 Beiträge: 3784 Wohnort: Europa

Hallo!

In der Mikro wird die Marginalanalyse sehr häufig benutzt. Wenn du irgendwo was von Grenz-Irgendwas liest, dann bedeutet dies, dass du eine Funktion ableitest und die Steigung an einem bestimmten Punkt bestimmst. Die Frage ist also, wo die Verbindung zwischen Grenzwert und Ableitung ist.

Der Grenzwert spielt bei der Definition bzw. der Herleitung der Ableitung eine große Rolle. Die Mathematiker mögen mich verbessern, wenn ich nun etwas falsches erzähle. Aber angenommen, du hast eine Funktion f(x). du nimmst zwei Punkte dieser Funktion, legst eine Grade dazwischen und betrachtest die Steigung dieser Graden. Nun minimierst du die Entfernung der zwei Punkte auf der Funktion. Der Abstand von Pkt A zu Pkt B wird also infinitisemal klein, d.h. der Abstand strebt gegen Null. Hier hast du deinen Grenzwert wieder.

Ich hoffe, dass diese Erklärung korrekt war.

Beste Grüße
coffeinjunky
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Aufklärung ist der Ausgang des Menschen aus seiner selbstverschuldeten Unmündigkeit.

ppoldi · Senior Member Anmeldungsdatum: 06.09.2005 Beiträge: 2445

die Ähnlichkeit von Grenzwert und Grenznutzen ist mE zufällig, beides hat ja eigentlich nix miteinander zu tun. Im Englischen sind die Begriffe ja auch unterschiedlich (marginal vs limit).

stanislaus · Junior Member Anmeldungsdatum: 11.10.2006 Beiträge: 28

Nein, es hat schon miteinender zu tun!!!

Es geht bei der Differenzialrechnung immmer darum den Abstand zwischen zwei Punkten gegen Null streben zu lassen (x-->x0 bzw. Deltax=0), es wird also ein GRENZwert bzw. Limes von 0 angestrebt. Die Frage ist wie sich die Steigung der Funktion verhält, wenn dieser Abstand minimal klein ist! Graphisch entspricht diese der Steigung der Tangente der Funktion im Punkt x0!

Wenn in der Mikro von Grenzfunktionen die Rede ist, geht es auch darum die zusätlichen (konsumierten, produzierten, abgesetzten...) Einheiten minimal klein werden zu lassen, also ebenfalls gg. 0 streben zu lassen. Es geht also (im Modell!) darum, nicht den Konsum-Nutzen einer weiteren Scheibe Brot zu untersuchen, sondern die Einheiten immer kleiner werden zu lassen (von der Scheibe zum Bissen zum einzelnen Stärkemolekül ...), um dadurch den Grenznutzen immer exakter zu beschreiben.

In der Praxis macht es jedoch i.A. keinen Sinn bestimmte Einheiten weiter zu "zerpflücken", weshalb man hier keine stetigen, sondern meist diskrete Funktionen vorfindet (Bsp. Grenzerlös eines weiteren abgesetzten PkW bei Volkswagen)

ppoldi · Senior Member Anmeldungsdatum: 06.09.2005 Beiträge: 2445

grenznutzen und grenzprodukt gibt es auch mit nicht-stetigen Funktionen!

stanislaus · Junior Member Anmeldungsdatum: 11.10.2006 Beiträge: 28

Klar, wie gesagt: bei in der Praxis üblichen unstetigen Funktionen, geht es darum Nutzen / Erlös / Kosten etc. einer weiteren Einheit zu erfassen und nicht wie in dem mathematisch-theoretischen Modell eines atomisch kleinen Teils dieser Einheit. Graphisch muss mann sich unstetige Funktionen als Treppe vorstellen; der Grenz... ist dann die Steigung von einer Treppenstufe zur nächsten

ppoldi · Senior Member Anmeldungsdatum: 06.09.2005 Beiträge: 2445

die Begriffe Grenzerlös,Grenzkosten,Grenzgewinn etc sind viel weiter gefasst, als das sie nur in theoretischen Modellen Anwendung finden und auch der Begriff Grenznutzen kann ohne mathematische Modelle definiert werden.

Mit Grenzwertanalyse hat das nurzufällig zu tun.

stanislaus · Junior Member Anmeldungsdatum: 11.10.2006 Beiträge: 28

Was heißt zufällig? Es geht halt um Differentialrechnung und damit um Grenzwertrechnung!

ppoldi · Senior Member Anmeldungsdatum: 06.09.2005 Beiträge: 2445

wie gesagt, diese ganzen Begriffe kann man auch ohne Differential-rechnung sehr gut verwenden. Glaubts mir das Grenz- von Grenzwert und Grenznutzen hat völlig verschiedene Ursprünge.

coffeinjunky · Senior Member Anmeldungsdatum: 27.07.2005 Beiträge: 3784 Wohnort: Europa

Ich finde es ja echt witzig, dass man sich über solche Sachen streiten kann...

Wir sind uns sicher alle einig, dass es sich bei der Grenznutzenanalyse um die Steigung einer Nutzenfunktion handelt, oder? Wir sind uns auch einig, dass auch diskrete Nutzenfunktionen Steigungen haben, oder? Also kann die Frage nach der Stetigkeit vernachlässigt werden.

Beachtet man folgende Veranschaulichung:

... so wird deutlich, dass es sich bei der Bestimmung der Steigung einer Funktion (hier: Nutzenfunktion) um die Ableitung handelt. Gemäß obiger Grafik wird deutlich, dass man also den Limes bildet für den Fall, dass der Abstand gegen Null geht, wie oben bereits beschrieben.

Natürlich ist der Zusammenhang zwischen Marginalitätsanalyse und Limes-Bildung ein indirekter über die Infinitesimalrechnung. Anders: die Marginalitätsanalyse (in der mathematischen Ausprägung, wie wir sie benutzen) gäbe es ohne Limes gar nicht, da wir die Steigung nicht bestimmen könnten.

Die Steigung ist nicht gleich dem Grenzwert, aber nur durch den Grenzwert (für e-->0) können wir die Steigung in einem Punkt bestimmen. Der Zusammenhang ist also ein indirekter. Das der mathematische Ursprung nicht unbedingt jedem sofort klar wird ist natürlich auch selbstverständlich. Natürlich kann ein Mensch unabhängig von der Differentialrechnung zum Schluß kommen, dass ihn das Essen eines weiteren Döners einen geringeren Nutzen bringt. Er weiß dabei aber nur nicht, dass er die oben geschilderte Differentialrechnung ohne Kenntniss derer anwendet.

Beste Grüße
coffeinjunky
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ppoldi · Senior Member Anmeldungsdatum: 06.09.2005 Beiträge: 2445

Sehe ich anders;

1. Das Grenz von Grenznutzen hat seinen etymologischen Ursprung wohl genau da, wo das Grenz von Grenzkosten,Grenzerlös .. herkommt.

(im englischen ist es auch gleich : marginal ...)

Das Grenz kommt wohl daher, dass man die Einheit betrachtet, die die grenze zwischen konsumiertem (produziertem) und nicht-konsumiertem bildet.
Zumindest die Begriffe Grenzkosten, Grenzerlös etc kann man wunderbar ohne Differentialrechnung verwenden, Grenznutzen mit einigen Wendungen auch.

natürlich kommen beide Begriffe vom Wort Grenze, das etwas trennt.

Aber der mathematische Begriff Grenzwert wurde sicher nicht von Ökonomen beeinflußt und nach meiner obigen Darstellung wurde der ökonomische Begriff Grenznutzen auch nicht vom mathematischen Begriff Grenzwert abgeleitet.

Alles Spekulation, klar aber die anderen Erklärungen sind es auch.

EinstürzendeNeubauten · Senior Member Anmeldungsdatum: 29.08.2006 Beiträge: 358

Hi,

leider hatten wir noch keine Ableitung - aber verstehe ich es richtig, das es einfach "GRENZnutzen" heißt, weil "eine weitere Einheit" praktisch unendlich klein ist, dass man zwar praktisch sagt der Grenznutzen eines weiteren Brotes oder so, aber man diese Einheit noch viel öfter praktisch selbst in Einheiten unterteilen kann, bis man eben eine unendlich kleine, gegen 0 strebende, hat?

stanislaus · Junior Member Anmeldungsdatum: 11.10.2006 Beiträge: 28

ppoldi · Senior Member Anmeldungsdatum: 06.09.2005 Beiträge: 2445

"Umgangssprachlich beantwortet der Grenznutzen die Frage, wieviel zusätzlichen Nutzen eine weitere Einheit des Gutes i stiften würde."

wikipedia.de .

Im Infinitesimalen dürfte beides (die letzte und die nächste Einheit) gleich sein.

stanislaus · Junior Member Anmeldungsdatum: 11.10.2006 Beiträge: 28

Eben, deswegen hängt es ja mit dem mathematischen Grenzbegriff zusammen, der meint, dass man sich auf einen Grenzwert (limes) zubewegt, um den Wert einer zusätzlichen Einheit möglichst exakt zu beschreiben.

Der Grenzwert ist aber gleichzeitig der Rand (margo-->marginal) zwischen einer Einheit zusätzlich und einer weniger, weshalb der Nutzen der beiden Optionen bei Differenzierung übereinstimmt.

Es kommt also (auch sprachlich) aufs selbe raus Very Happy

ppoldi · Senior Member Anmeldungsdatum: 06.09.2005 Beiträge: 2445

stanislaus · Junior Member Anmeldungsdatum: 11.10.2006 Beiträge: 28

Von mir aus sollen das Mathematiker, Sprachwissenschaftler oder wer auch immer klären. Vielleicht sind wir als Ökonomen nicht dazu imstande Wink

Peace

null_llun_ulln_dieDritte · Newbie Anmeldungsdatum: 09.10.2007 Beiträge: 1

schon das Wort sagt was es ist, nämlich eine Grenze und ohne Grenze wäre alles grenzenlos und das würden weder die Ökonomen noch die Physiker mögen. egal ob der Nutzen begrenzt oder grenzenlos sein mag.

Und Grenzgänger wissen welches Potential potentiell in Grenzen liegt.
da werden Informationen ausgetauscht u. v. a. m.

Und die null ist eine wichtigte Grenze für die Mathematiker.
Zwar waren es dieselben welche uns Anderen die elektrische Rechenmaschine sprich Computer beschert haben.

Jedoch hatten die anderen also die Nullen auch Gefallen an dem Ding da wo die Zahlen alles mögliche machen können sogar Rechnen.

Und [eins] ist klar. Je kleiner die [null] desto besser für die Informatik.
Und [null¬nil,or nul, or nix]

Gruesse
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