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Gruppen / Homomorphismus (LA1)
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Stefan_21
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Nov 2004 - 02:52:21    Titel: Gruppen / Homomorphismus (LA1)

Hallo! Hoffe, jemand kann mir helfen, stehe ziemlich ratlos vor dieser aufgabe:

Seien (G,*) und (H,o) zwei Gruppen und φ: (G,*) --> (H,o) ein Homomorphismus. Mit eG wird das neutrale Element von G bezeichnet und mit eH das neutrale Element von H. Weiter seien:

Bild(φ) := {φ(a) : a e G}, Kern(φ) := {a e G : φ(a) = eH}

das Bild und der Kern von φ. Zu Zeigen ist, dass

(a) Bild(φ) ist eine Untergruppe von (H,o) und Kern (φ) ist eine Untergruppe von (G,*).

(b) φ ist injektiv genau dann, wenn Kern (φ) = {eG}.


Bin für jede Hilfe sehr dankbar! ....
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2004 - 10:33:21    Titel:

φum zu zeigen dass etwas ne untergruppe ist, musst du zeigen dass
- wenn a und b in der untergruppe, dann auch ab
- wenn a in der untergruppe, dann auch a^-1


(a) für Bild(φ):
-nehmen wir mal a und b in Bild(φ). dann gibt es x und y in G sodass a=φ(x) und b=φ(y). also, da φ ein gruppenhomomorphismus ist,
a o b = φ(x) o φ(y) =φ(x*y) => a o b ist ein element von Bild(φ)

-nehmen wir mal a in Bild(φ). dann gibt es ein x in G sodass a=φ(x). dann gilt, da φ ein gruppenhomomorphismus ist:
a^-1 = [φ(x)]^-1 =φ(x^-1) => a^-1 ist ein element von Bild(φ)

für Kern(φ):
- nehmen wir mal x und y in Kern(φ). dann gilt φ(x) = eH und φ(y) = eH.
also:
φ(x*y) = φ(x) o φ(y) = eH o eH = eH
also x*y in Kern(φ)

-nehmen wir mal x in Kern(φ). dann gilt φ(x) = eH. also
φ(x^-1) = φ(x) ^-1 =eH^-1 =eH
also x^-1 in Kern(φ)

(b) φ injektiv <=> Kern(φ) = {eG}
=>: nehmen wir mal φ injektiv. dann gilt für alle x und y in G,
φ(x) =φ(y) => x=y
speziell gilt dann für y = eG
x in Kern(φ) => φ(x) = eH = φ(eG) => x= eG. also Kern(φ) ={eG}

<= : nehmen wir mal an Kern(φ) = {eG}, und nehmen wir mal x und y.
wenn φ(x) = φ(y), dann:
φ(x) = φ(y) => φ(x) o [φ(y) ^-1 ] = φ(y) o [φ(y)^-1] = eH
aber da φ ein homomorphismus ist, gilt:
φ(x) o [φ(y) ^-1 ] = φ(x) o φ(y^-1) =φ(x*y^-1)
also x*y^-1 in Kern(φ), und somit x*y^-1 = eG <=> x=y, d.h. φ injektiv.
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