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Spiel "Der längste Abstieg"
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frontloop_33
Gast






BeitragVerfasst am: 14 Nov 2004 - 01:10:35    Titel: Spiel "Der längste Abstieg"

Hi!

Das Spiel "der längste Abstieg" geht so: Man schreibt vier (ganze, nicht-negative) Zahlen nebeneinander auf die Tafel. Dann ermittelt man die Differenz zwischen je zwei nebeneinanderstehenden Zahlen und schreibt sie darunter. Hinzu kommt die Differenz aus erster und letzter Zahl. Nun hat man also vier neue Zahlen erhalten. Hiermit macht man das gleiche, usw. solange, bis am Ende vier mal die Null erscheint. Ziel des Spieles ist es, die Anfangswerte so zu wählen, dass der Abstieg möglichst lang dauert.

Beispiel:

Zahlen 1 2 3 4
1: 1 1 1 3
2: 0 0 2 2
3: 0 2 0 2
4: 2 2 2 2
5: 0 0 0 0


Zu Beweisen:

Wenn die Anzahl der Spalten = Primzahl (also 3 / 5 / 7 / usw) ist eine Lösung (= 0 0 0 0 ) nicht möglich!


Wär super, wenn jemand diesen Beweis erbringen könnte!
frontloop_33
Gast






BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 20:10:51    Titel:

vergesst den beweis.

wichtiger:

Zahlen finden, bei denen die Berechnung möglichst viele Schritte braucht um auf 0-0-0-0 zu kommen.

Wären z.B. für 8 Zeilen: 0-1-4-9
für 10 zeilen: 0-2-6-13
für 13 zeilen: 0-7-20-44
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 20:12:44    Titel:

Sind deine Zahlen nach größe geordnet? Sonst bekommst du negative.
frontloop_33
Gast






BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 20:15:20    Titel:

oh, sorry vergessen zu erwähnen:

wenn zahl1<zahl2, dann zahl2-zahl1
oder einfacher, Ergebnis als Betrag.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 20:37:51    Titel:

Also ich behaupte mal deine Vorgehensweise hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der ggT berechnung nach Euklid. Daher nehme ich auch mal an, der Worstcase wird auch ähnlich aussehen. Beim Euklid läuft es am längsten, wenn die Eingabemenge aus benachbarten Fibonachi-Zahlen aufgebaut ist.

Meine zweite Behauptung ist, dass die Zahlenkombinationen nicht nach oben beschränkt sind.

Somit wähle mal f(n) f(n+1) f(n+2) f(n+3) für ein grosses n und dann sollte das ganze am längsten unter allen Zahlen kleiner als f(n+4) dauern.

Der Beweis all dieser, womöglich wirrer, Behauptungen werde ich nicht machen, da ich heute leider nicht so viel zeit habe.
frontloop_33
Gast






BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 23:18:05    Titel:

also wenn ich die Fibonacci-Zahlen eingebe, hab ich max. 7 Schritte.

wären dann zb.:
n=10 -> f(n)=55
n=11 -> f(n+1=11)=89
n=12 -> f(n+2=12)=144
n=13 -> f(n+3=13)=233

habs auch für n=30 - n=33 probiert.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 23:58:30    Titel:

Hmm. Das hört sich nicht nach der längsten Anzahl.

Linearisieren wir mal das ganze. Was Du hast ist eine Folge der Form

a(n) =
|a(n-7)-a(n-4)| für n = 4k+3 und
|a(n-3)-a(n-4)| sonst.

Du suchst a(0), a(1), a(2), a(3), so dass a(k-1) <> 0 und a(k) = a(k+1) = a(k+2) = a(k+3) = 0 für möglichst großes k gilt.

Hmmm. Wenn ich nur wüsste, wie man das in einen geschlossenen Ausdruck umwandeln kann. Wenn nicht der blöde Betrag...
frontloop_33
Gast






BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 08:26:58    Titel:

hört sich sehr verwirrend an.

werds mal probieren.

kannst du evtl. mir mal 4 zahlen nennen, die da gehen müssten?
frontloop_33
Gast






BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 20:05:14    Titel:

hab mich mit deiner Idee jetzt mal rumgeschlagen und bin zu dem ergebnis gekommen, dass ich keine ahnung hab, von was du redest.... Embarassed
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 17 Nov 2004 - 13:06:34    Titel:

Ich meine, das ist eine (mögliche) Standardvorgehensweise bei solchen Aufgaben. Ich gebe zu ich weiss selber nicht, wie man das anpackt, aber die Idee ist es daraus eine Folge von Zahlen zu machen, dann einen geschlossenen Ausdruck oder was vielleicht in diesem Fall eher zutrift eine Abschätzung davon davon bestimmen und dann seine Nullstellen bzw. die Schnittpunkte der Abschätzung mit der X-Achse in Abhängigkeit von den Startwerten zu berechenen. Dann hast Du z.B. wenn Du bekommst f(x) = 0 für alle n > m, dann brauchst Du nur den Maximalwert der Startwerte (falls es eins gibt) zu bestimmen.

Was ich gemacht habe, ist es einfach deine Tabelle von links nach rechts und von oben nach unten zu durchlaufen und die Einträge einfach durchzunummerieren. Das ist alles. Es gibt womöglich einen besseren Weg...

Wo hast Du die Augabe her?
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