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Satz vom maximum und minimum- Beweis
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Gast







BeitragVerfasst am: 14 Nov 2004 - 12:41:13    Titel: Satz vom maximum und minimum- Beweis

hallo,

ich brauche den Beweis des Satzes vom maximum und minimum:

"stetige reele Funktionen haben auf einem abgeschlossenen intervall ein absolutes maximum und ein absolutes minimum."


Danke im vorraus
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
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BeitragVerfasst am: 14 Nov 2004 - 20:11:47    Titel:

So wie es da formuliert ist, kann das nicht stimmen, da das absolute Maximum auch außerhalb des Intervalls liegen kann (es sei denn, der Definitionsbereich ist auf das Intervall beschränkt). Wenn man das mit dem Maximum bewiesen hat, kann man die Existenz des Minimums übrigens leicht so folgern, dass man das Argument für das Maximum auf die Funktion -f anwendet; wenn -f ein Maximum hat, hat f automatisch ein Minimum. Wie man das mit dem Maximum beweist, weiß ich so nicht; hab mein altes Skript rausgekramt, aber da kam das anscheinend nicht vor. Sad
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 14 Nov 2004 - 20:28:05    Titel:

Ein abgeschlossenes Interval in R ist kompakt. R ist Hausdorffsch. Also ist der Bildraum einer Stetigen Funktion aus einem kompakten Raum in einen Hausdorffraum wieder kompakt und daher beschränkt und abgeschlossen in R. Der oberste Randpunkt ist das Maximum, der underste ist dein Minimum.
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
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BeitragVerfasst am: 14 Nov 2004 - 20:30:57    Titel:

Das ist entweder eine Aufgabe aus der Schule oder aus Analysis I; in beiden Fällen wird der Autor das Hausdorffsche Trennungsaxiom wohl kaum kennen. Wink
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 14 Nov 2004 - 20:32:13    Titel:

Im Allgemeinen ist übrigens der Satz sowieso, wie der formuliert ist, falsch, denn die benötigte Eigenschaft der Kompaktheit erhält sich nicht bei stetigen Abbildungen. Wenn, allerdings, wie oben alles reell ist ist alles schön und gut.
algebrafreak
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BeitragVerfasst am: 14 Nov 2004 - 20:35:31    Titel:

Hausdorff nimmt man normal durch, wenn man Kompaktheit macht. Am sonsten, naja, spielt das ja sowieso keine Rolle. Umformulieren: Bilder abgeschlossener Intervale unter Stetigen Abbildungen sind beschränkt und abgeschlossen in R. Den Satz habe ich des öfteren gesehen. Mit dem geht es hier auch.
Gast







BeitragVerfasst am: 14 Nov 2004 - 21:52:53    Titel:

erstmal vielen dank für eure antworten....

ich soll ein kurzrefarat knapp 10 mins machen und den satz vorstellen und beweisen. ich bin im leistungskurs mathematik der 12 klasse und habe noch nichts von hausdorff gehört und kompaktheit und kann mir nicht vorstellen das meine lehrerin ein refarat gibt, dessen beweis so schwer ist..

gibt es ne leichtere möglichkeite den satz zu beweisen?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 14:55:30    Titel:

Oh. Tut mir leid. Ich nehme alles zurück. Wäre was für Analysis II Vorlesung im HF Mathe oder so.
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 16:07:49    Titel:

Weiss nicht ob es Dir weiter hilft:

Schau mal da rein:

http://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert

Wenn es noch exakter sein soll müsste ich mir wa aus den Fingern saugen...
Wink
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 16:10:19    Titel:

Auf Schulniveau könnte ein exakter Beweis echt schwierig werden. Ich würde es von der Idee her so versuchen: erstmal sollte man die Beschränktheit zeigen, aus der dann folgt, dass das Supremum existiert. Dann müsste man zeigen, dass dies gleich dem Maximum ist; hier könnte man, da es sich um eine beschränkte Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall handelt, den Satz von Bolzano-Weierstrass benutzen (fraglich nur, ob ihr den hattet) und eine konvergente Teilfolge konstruieren, die gegen das Supremum konvergiert. Da das Intervall abgeschlossen ist, müsste nach meinem Verständnis dann automatisch folgen, dass der Grenzwert im Intervall liegt und wegen der Stetigkeit der Funktion müsste dann auch das Supremum der Funktionswerte entsprechend zu der betrachteten Menge gehören, womit diese ein Maximum hat. Das Minimum zeigt man dann jedenfalls, wie oben erwähnt, mit der Betrachtung von -f.

Irgendwie so kann man sich das zusammenwurschteln; vielleicht kommst du damit weiter. (oder einer der Mathematiker hier kriegt daraus einen vernünftigen Beweis zustande Mr. Green)
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