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Lineare Optimierung / OR verschiedener Produkte
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markusschei
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Anmeldungsdatum: 18.10.2006
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 18 Okt 2006 - 15:24:57    Titel: Lineare Optimierung / OR verschiedener Produkte

Hi zusammen,

habe hier eine Aufgabe aus: http://tmorgenstern.hs-harz.de/OR/lop_ws03_a02.pdf

nach W. Rödder: Operations Research FernUni-Hagen
Ein Aluminiumproduzent will 2 000 kg einer Aluminiumlegierung zu
minimalen Kosten herstellen.
Neben fünf Schrottsorten S1, . . . , S5 stehen reines Aluminium und reines
Silizium zur Verfügung. Die Preise der Schrottsorten sind: 0.03,
0.08, 0.17, 0.12 und 0.15 GE pro kg und 0.21 und 0.38 GE pro kg für
das Aluminium und das Silizium.
Die Analysen der Einsatzstoffe in % können folgender Tabelle entnommen
werden:

Stoff S1 S2 S3 S4 S5 rAl rSi
Fe 15 4 2 4 2 1 3
Cu 3 5 8 2 6 1 -
Mn 2 4 1 2 2 - -
Mg 2 3 - - 1 - -
Al 70 75 80 75 80 97 -
Si 2 6 8 12 2 1 97
sonst 6 3 1 5 7 - -

Die Mindest- und Maximalen Schrotteinsatzmengen sind:
Stoff S1 S2 S3 S4 S5
min - - 400 100 -
max 200 750 800 700 1 500

An die Analyse der Legierung werden Qualitätsanforderungen gestellt:
Fe  3% Cu  5%
Mn  2% Mg  1.5%
Si  12.5% Si  15%
Al  75%
Bestimmen Sie die kostenminimale Faktoreinsatzkombination. Interpretieren
Sie die Ergebnisse ökonomisch.




...oben stehendes Optimierungsproblem ist quasi Standard für die Verwendung von LP-Programmen und auch relativ einfach umzusetzen. Ich möchte jedoch noch einen Schritt weitergehen und verschiedene Aluminiumlegierungen einführen, die unterschiedliche Qualitäten (sprich Anforderungen an die Metallmengen) und die unterschiedliche Absatzpreise haben. D.h. es soll nicht nur die Produktion von 2000 kg AL1 optimiert werden, sondern die Produktion eines Pools AL1, AL2, ..., ALn unter Berücksichtigung verschiedener Absatzpreise.

Hat jemand einen Tipp, wie die Bedingungsmatrix hier aussehen könnte?

Vielen Dank im voraus für alle Überlegungen!

Soweit schöne Grüße,

Markus

PS: Cross-Posting auch auf www.matheraum.de
Hiob
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Anmeldungsdatum: 04.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 18 Okt 2006 - 15:41:59    Titel:

Die Qualitätsanalyse hat den Kopierprozesse nicht überstanden.

Denk Dir einfach neue Variablen aus, eine für jede sinnvolle Kombination von Endprodukt (Legierung) und Ressource.
Die Summe der Variablen über alle Endprodukte zu einer Ressource darf dann eben die Restriktionen der Ressourcen nicht verletzen.
Die Qualitätsanforderung für jede neue Legierung werden einfach dazugeschrieben und die Kostenfunktion wird mit entsprechenden Koeffizienten um die neuen Variablen erweitert.
markusschei
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Anmeldungsdatum: 18.10.2006
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 18 Okt 2006 - 16:02:20    Titel:

Naja, ganz so einfach ists nicht...

Das hier ist ja quasi die Lösungstabelle für das Problem:

S1 S2 S3 S4 S5 AL SI MAX MIN
MENGE 1 1 1 1 1 1 1 2000 2000
FE .15 .04 .02 .04 .02 .01 .03 60
CU .03 .05 .08 .02 .06 .01 100
MN .02 .04 .01 .02 .02 40
MG .02 .03 .01 30
AL .70 .75 .80 .75 .80 .97 1500
SI .02 .06 .08 .12 .02 .01 .97 300 250
KOSTEN .03 .08 .17 .12 .15 .21 .38
MIN 0 0 400 100 0
MAX 200 750 800 700 1500

Nun kann ich natürlich FE CU MN MG AL SI je Sorte einmal reinstellen und bekomme somit auch sinnvolle Einschränkungen für Max- und Min-% der einzelnen Legierungen. Aber wie siehts mit den Mengen aus? Ich kann ja keine unterschiedlichen Mengen-Vorgaben eingeben, also für jede Legierung eine Max- und eine Min-Menge, und die Kosten werden hier ja per Komponente auf eine Legierung optimiert (also preiswerteste Zusammensetzung der Legierung), ich möchte aber für jede Legierung einen Preis haben und anhand dessen dann optimieren lassen...

Markus

PS: Die Qualitäten gaben Max- und Min-Einschränkungen an, hab sie in der Tabelle berücksichtigt... kann man hier eigentlich auch richtige Tabellen einbetten? Sieht irgendwie grauenhaft aus, die Zeilen oben...
Hiob
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Anmeldungsdatum: 04.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 18 Okt 2006 - 19:18:49    Titel:

Tabellen kann man durch die code-Umgebung einfügen.
Für die Mengen muß dann auch noch pro Legierung eine Zeile dazukommen.
Code:
      S1  S2  S3  S4  S5  Al  Si  Min  Max
L1     1   1   1   1   1   1   1 2000 2000
L2     1   1   1   1   1   1   1 Min2 Max2
:
Ln     1   1   1   1   1   1   1 Minn Maxn
Fe1  .15 .04 .02 .04 .02 .01 .03        60
Cu1  .03 .05 .08 .02 .06 .01   -       100
Mn1  .02 .04 .01 .02 .02   -   -        40
Mg1  .02 .03   -   - .01   -   -        30
Al1  .70 .75 .80 .75 .80 .97   - 1500
Si1  .02 .06 .08 .12 .02 .01 .97  250  300
Fe2  .15 .04 .02 .04 .02 .01 .03 Fen2 Fex2
Cu2  .03 .05 .08 .02 .06 .01   - Cun2 Cux2
Mn2  .02 .04 .01 .02 .02   -   - Mnn2 Mnx2
Mg2  .02 .03   -   - .01   -   - Mgn2 Mgx2
Al2  .70 .75 .80 .75 .80 .97   - Aln2 Alx2
Si2  .02 .06 .08 .12 .02 .01 .97 Sin2 Six2
:
Fen  .15 .04 .02 .04 .02 .01 .03 Fenn Fexn
Cun  .03 .05 .08 .02 .06 .01   - Cunn Cuxn
Mnn  .02 .04 .01 .02 .02   -   - Mnnn Mnxn
Mgn  .02 .03   -   - .01   -   - Mgnn Mgxn
Aln  .70 .75 .80 .75 .80 .97   - Alnn Alxn
Sin  .02 .06 .08 .12 .02 .01 .97 Sinn Sixn
Kost .03 .08 .17 .12 .15 .21 .38
Min    -   - 400 100   -
Max  200 750 800 700 1500
markusschei
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Anmeldungsdatum: 18.10.2006
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 19 Okt 2006 - 07:47:55    Titel:

Hi,

vielen Dank - nun hab ich nur noch nicht die einzelnen Legierungskosten und -preise drin. Anhand der optimalen Zusammensetzung der Legierungen sollte ja im Ziel für jede Legierung ein Kostenfaktor erstellt werden. Und die Summe der Einzelkosten soll ja eigentlich optimal minimiert werden... bzw. das Delta zwischen Kosten und gegebenem Absatzpreis soll maximiert werden (bei Beachtung der Min- und Max-Mengen natürlich). Das wäre ja dann meine Zielfunktion, nicht die Kostenzeile in der Tabelle oben...

Sieht aber schon ganz ansprechend aus Wink

Viele Grüße,

Markus
markusschei
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Anmeldungsdatum: 18.10.2006
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 19 Okt 2006 - 15:52:01    Titel:

Außerdem wäre noch interessant herausfinden zu können ob man eine Komponente mit einem zusätzlichen Einsatz (also durch Kostenerhöhung) umformen könnte, und dadurch mehr Gewinn macht als durch die Umformung anfallen - aber ich schätze mal das müsste man dann mit mehreren Optimierungläufen machen, oder?

Markus
Hiob
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Anmeldungsdatum: 04.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 19 Okt 2006 - 17:37:35    Titel:

markusschei hat folgendes geschrieben:
Außerdem wäre noch interessant herausfinden zu können ob man eine Komponente mit einem zusätzlichen Einsatz (also durch Kostenerhöhung) umformen könnte, und dadurch mehr Gewinn macht als durch die Umformung anfallen - aber ich schätze mal das müsste man dann mit mehreren Optimierungläufen machen, oder?
Weiß nich genau, was Du damit meinst. Klingt im Moment irgendwie nach Alchemie. Ob man ein Produkt oder Teilprodukt in was anderes umsetzen kann, muß vor dem Optimierungsprozeß festgestellt werden, der nur zur Optimierung dient.
Wenn Dich das Thema noch weiter interessiert, solltest Du vielleicht über google nach Skripten für Lineare Optimierung oder Linear Programming suchen.
Die Kostenoptimierung sollte dann von einem entsprechenden Programm auch für unterschiedliche Min- und Max-Werte der Legierungen durchgeführt werden.
markusschei
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Anmeldungsdatum: 18.10.2006
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 19 Okt 2006 - 18:06:06    Titel:

Stimmt, ich habs irgendwie ein bisschen komisch geschrieben...

Eigentlich gehts bloß darum: Jede Legierung kostet unterschiedlich viel, muss in einer gewissen Menge mindestens und in einer gewissen Menge maximal hergestellt werden. Also sollten insgesamt (über alle Legierungen hinweg) die Kosten des ganzen minimiert werden. Das leistet aber die obenstehende Tabelle leider nicht, da nur die Komponentenkosten betrachtet werden, nicht aber die Legierungskosten... kann man das nicht mit einbauen?

Markus
Hiob
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Anmeldungsdatum: 04.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2006 - 00:36:50    Titel:

Was sind denn die Legierungskosten? Die Absatzpreise der Legierungen sind im Prinzip egal, solange sie oberhalb der Produktionskosten liegen.
Ansonsten wird wohl angenommen, daß sich die Produktionskosten für eine Legierung nur aus den Ressourcenpreisen zusammensetzt.
markusschei
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Anmeldungsdatum: 18.10.2006
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2006 - 11:48:51    Titel:

Ja, und genau da ist der Knackpunkt. Denn die Absatzkosten der Legierungen sollten nicht egal sein, da ich für Legierung 1 sicherlich nen anderen Preis bekomme als für Legierung 2.

Sinnvoll wäre, wenn ich den Gewinn der Produktion maximiere, also

G = E - K

E sind die Erlöse die ich mit den einzelnen Legierungen erreichen kann, K sind die Kosten der Herstellung (also die Ressourcenkosten). Zur Zeit wird nur nach minimalen Kosten optimiert, aber die Erlöse werden nicht berücksichtigt...

Markus
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