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rechenaufgabe
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july
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Anmeldungsdatum: 30.10.2004
Beiträge: 122

BeitragVerfasst am: 14 Nov 2004 - 18:36:08    Titel: rechenaufgabe

hi leute brauche dringend hilfe was kommt da raus:

(a^(n+2)-b^(n+2))\(a-b)-(a^(n+1)-b^(n+1))\(a-b) ???
sitze schon eine weile dran kann aber nichts damit machen Evil or Very Mad
bitte Wink
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 14 Nov 2004 - 18:53:36    Titel:

Hi, July

in aller Kürze: du hast zwei Brüche, für jeden der beiden kannst du eine Polynomdivision durchführen, die beiden Rechenergebnissse der Polynomdivision sind ganzrationale Funktionen (n+1).-Grades und n.-ten Grades, sie lassen sich dann voneinander subtrahieren, übrig bleiben wird eine ganz kurze Summe !

(Ich habe dieses Ergebnis nur geschätzt: a^(n+1) + b^(n+1))

zu Polynomdivision suche in diesem Forum (Suchfunktion)
oder
www.gess.rw.bw.schule.de/pdfxx/Polynomdivision.pdf

Wenns nicht klappt melde dich nochmals, ich antworte erst wieder 22:00)
july
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Anmeldungsdatum: 30.10.2004
Beiträge: 122

BeitragVerfasst am: 14 Nov 2004 - 19:40:41    Titel:

ja polynomdivision kann ich, aber was soll ich denn dividieren??? Crying or Very sad
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 14 Nov 2004 - 22:28:44    Titel:

Hi July,
nochmals jetzt mit etwas mehr Zeit: (Schreibweise: ich habe zur Vereifachung * als Mal-Zeichen meist weggelassen)
die Aufgabe lässt sich leider nicht so wie gedacht vereinfachen, die Glieder haben andere Potenzen.

Aber du kannst schreiben: (sehe ich das richtig? Schreibweise \ oder /??)
(a^(n+2)-b^(n+2))/(a-b)-(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b)

Teil I:
(a^(n+2)-b^(n+2))/(a-b) = a^(n+1)b^0 + a^nb^1 + a^(n-1)b^2 + a^(n-2)b^3 + ... + a^1b^(n) + a^0b^(n+1) (= Ergenis der ersten Polynomdivision)
Teil II:
(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b) = a^(n)b^0 + a^(n-1)b^1 + a^(n-2)b^2 + a^(n-3)b^3 + ... + a^1b^(n-1) + a^0b^(n) (= Ergebnis der zweiten Polynomdivision)

nun beide Teile der Ergebnispolynome subtrahiert:
(a^(n+2)-b^(n+2))/(a-b)-(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b) = a^(n+1)b^0 + a^nb^1 + a^(n-1)b^2 + a^(n-2)b^3 + ... + a^1b^(n) + a^0b^(n+1) -[a^(n)b^0 + a^(n-1)b^1 + a^(n-2)b^2 + a^(n-3)b^3 + ... + a^1b^(n-1) + a^0b^(n)]

gleiche Glieder von b^i ausgeklammert:
(a^n+1 - a^n)b^0 + (a^n - a^n-1)b^1 + (a^n-1 - a^n-2)b^2 + (a^n-2 - a^n-3)b^3 + ... + (a^2 - a^1)b^n-1 + (a^1 - a^0)b^n

alle Glieder für gleiche Klammer (a^n+1 - a^n) als Koeffizient von b^i erweitert:
(a^n+1 - a^n)b^0 + (a^n+1 - a^n)(b/a)^1 + (a^n+1 - a^n)(b/a)^2 + (a^n+1 - a^n)(b/a)^3 + ... + (a^n+1 - a^n)(b/a)^n-1 + (a^n+1 - a^n)(b/a)^n

ergibt nach dem Ausklammern von (a^n+1 - a^n) die vereinfachte Darstellung als Summe mit: a^n * (a-1) * Summe[(b/a)^n] von n=0 bis n=n

dies ist nun eine Summenformel mit der dein gesuchtes Ergebnis dargestellt werden kann.

Ich bin gar nicht mehr so sicher, ob dies einfacher ist, aber als andere Möglichkeit fällt mir zum Schluss nur noch folgendes ein:

(a^(n+2)-b^(n+2))/(a-b)-(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b) =
[(a^(n+2) - a^(n+1) - (b^(n+2) + b^(n+1))]/(a-b) =

[a^(n+1) * (a-1) - b^(n+1) * (b-1)] / (a-b)

Dies nun scheint fast einfacher als die Entwicklung der Summenformel !
july
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Anmeldungsdatum: 30.10.2004
Beiträge: 122

BeitragVerfasst am: 14 Nov 2004 - 22:57:47    Titel:

hm, eigentlich habe ich die rechnung für vollständige integration gebraucht

die aufgabe war:

k=0 über n summe von a^k*b^(n-k)=(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b)
den ersten teil mit n=1 hab ich schon.

beim zweiten kommt heraus

k=0 über n summe von a^k*b^(n-k)+ a^k*b^(n+1-k)= (a^(n+2)-b^(n+2))/(a-b)-(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b)

jetzt wollte ich den ausdruck irgendwie aufspalten sodass ich (a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b)+x stehen habe.
geht das? oder ist der weg falsh?
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