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Integration einer Logarithmusfunktion
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Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2006 - 16:58:03    Titel:

Es steht schon alles da was Du brauchst !!! Shocked
Warum versuchst Du nicht, selbst eine Zusammenfassung zu machen
und sie hier überprüfen zu lassen ???

Na gut, vielleicht stehst Du wirklich gerade neben Dir, also:

Int((1/x)*(ln(9*x^2)))dx = Int((1/x)*(2*ln(3)+2*ln(x)))dx
= 2*ln(3)*Int(1/x)dx + 2*Int((1/x)*ln(x))dx

Int(1/x)dx = ln|x| + C1

Produktregel:
Int(u'v) = uv - Int(uv')

In unserem Fall Int((1/x)*ln(x))dx setzen wir u'=1/x und v=ln(x)
womit sofort ersichtlich ist, dass u'v = uv' und somit Int(u'v) = Int(uv') + C2.
=> Int(u'v) = uv - Int(u'v) + C2 => 2*Int(u'v) = uv + C2 .
=> Int((1/x)*ln(x))dx = (1/2)*ln²(x) + C2/2 .

Zusammenfassung, wobei allg. Konstante C := 2*ln(3)*C1 + C2 :

Int((1/x)*(ln(9*x^2)))dx = 2*ln(3)*Int(1/x)dx + 2*Int((1/x)*ln(x))dx
= 2*ln(3)*ln|x| + 2*ln(3)*C1 + 2*((1/2)*ln²(x) + C2/2)
= ln(3)*ln(x²) + ln²(x) + C
eierwurm
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 154

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2006 - 20:17:18    Titel:

danke erstmal für deine mühe... ich hab das jetzt mal versucht, nachzuvollziehen und mir sind da ein paar fragen zu eingefallen:

woher weiß ich, dass Int(u'v) = Int(uv' + c2) ist? [ u'v = uv' ist mir klar]
also wieso muss da ein c2 hin?

dann schreibst du bei der zusammenfassung: c := 2*ln(3)*c1 +c2
wie kommst du darauf???

meine letzte frage erstmal: gandalf 25 hat eine völlig andere Stammfunktion :
F(x) = (ln(x^4)) / ( 4) + 2ln(3) * ln (x). ist seine trotzdem richtig?

mfg
eierwurm
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2006 - 20:19:12    Titel:

Hallo!

Wende mal Logarithmengesetze an... Smile

Viele Grüße, Cyrix
eierwurm
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 154

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2006 - 20:22:12    Titel:

trotzdem sin meine fragen nicht beantwortet ... ich will es doch nur verstehen ... Crying or Very sad

eierwurm
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2006 - 20:22:59    Titel:

eierwurm hat folgendes geschrieben:
trotzdem sin meine fragen nicht beantwortet ... ich will es doch nur verstehen ... Crying or Very sad


Bezog sich auf deine zweite Frage: Was ist ln(x^4)?

Viele Grüße, Cyrix
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2006 - 20:25:24    Titel:

Du wirst feststellen, dass sich seine angegebene Stammfunktion nicht nur um eine additive Konstante von den anderen unterscheidet. Also kann wenigstens eine der angeblichen Stammfunktionen keine sein.

Überprüfen kannst du dies z.B., in dem du die potentiellen Stammfunktionen ableitest und schaust, ob die Ausgangsfunktion herauskommt... Smile


Viele Grüße, Cyrix
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2006 - 20:33:37    Titel:

Da wir zwei Integralteile haben, habe ich die BELIEBIGEN Konstanten
einfach C1 und C2 getauft. Wenn ich sie immer C genannt hätte, wäre die
Frage gekommen, warum beide Integrale die gleiche Konstante haben.

Leite "mein" Ergebnis ab, dann erhältst Du die Ausgangsbedingung.

BEACHTE:
Wenn Du ein Integral bestimmt hast, dann teste das Ergebnis IMMER nach, mach die Ableitung !
eierwurm
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 154

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2006 - 08:10:41    Titel:

Morgen.


Wollte jetzt nur noch mal eine klare Antwort haben ob das so stimmt:
wenn
f(x) = ( 1/x ) * (ln (9*x^2))
dann
F(x) = ln(3)*ln(x²) + ln²(x) + C ?

Und für c kann ich mir jetzt irgendeine Zahl nehmen? Meinetwegen 2?

mfg
eierwurm Sad
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2006 - 15:49:28    Titel:

F'(x) = f(x) [Selbst nachrechnen !]

Das C wird erst dann bestimmt, wenn die Integrationsgrenzen BEKANNT sind !
C ist ein Platzhalter mit der Recheneigenschaft einer Konstanten.
Wenn Du C=2 nimmst, dann ist das EIN Ergebnis, es gibt aber beliebig viele.
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