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symmetrieverhalten
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P_hoeniKs
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Anmeldungsdatum: 22.07.2006
Beiträge: 134

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2006 - 21:30:25    Titel: symmetrieverhalten

hi,

gibt es eigentlich einen Zusammenhang zwischen der Funktion und der ersten Ableitung bezüglich dem Symmetrieverhalten??

Z.B. f(x)=x^2 ist achsensymmetrisch
f`(x)=2x ist punktsymmetrisch

f(x)=x^3 ist punktsymmetrisch
f`(x)=3x^2 ist achsensymmetrisch

herrscht also ein genereller Zusammenhang bei diesem Thema oder hab ich bloß ein paar Zufälle rausgefischt???

MfG
Paul
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2006 - 21:33:55    Titel:

Hallo!

Betrachte mal f(x)=|x| Wink

Viele rüße, Cyrix
P_hoeniKs
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Anmeldungsdatum: 22.07.2006
Beiträge: 134

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2006 - 23:36:18    Titel:

hallo,

was ist denn f`(x) von f(x)=lxl ????

MfG
Paul
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2006 - 23:42:14    Titel:

Hallo!

Selbst wenn f punkt- oder Achsen-symmetrisch ist, so muss sie noch nicht differenzierbar sein. Smile

Insofern ergibt deine Aussage nur dann Sinn, wenn sie über differenzierbare Funktionen f redet.


Ist f achsensymmetrisch (und differenzierbar), dann ist ja f(-x)=f(x).

Also auch

f'(x)=lim (h->0) [f(x+h)-f(x)]/h = lim (h->0) [f(-x-h)-f(-x)/h]

= lim (l->0) [f(-x+l)-f(-x)]/(-l) ; mit l:=-h

= - lim(l->0) [f(-x+l)-f(-x)]/l = -f'(-x).

Also ist f' punktsymmetrisch. Smile


Analog anders herum. Smile


Viele Grüße, Cyrix
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2006 - 23:57:52    Titel:

@cyrix42: Sehr schön.

Hier nochmal mehr die Wort-Variante für Polynome.
P_hoeniKs hat folgendes geschrieben:
was ist denn f`(x) von f(x)=lxl ????
Für f(x) = |x| gilt
f'(x)=-1, wenn x<0 und f'(x)=1, wenn x>0.
P_hoeniKs hat folgendes geschrieben:
herrscht also ein genereller Zusammenhang bei diesem Thema oder hab ich bloß ein paar Zufälle rausgefischt???
Du hast einen Zusammenhang für eine überabzählbar unendlich große Menge von Spezialfällen gefunden.

Wenn in einem Polynom nur ungerade Potenzen von x vorkommen (..,x^(-3),1/x,x,x³,..), dann ist das Polynom punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Es gilt:
f(-x)=-f(x)

Wenn in einem Polynom nur gerade Potenzen von x vorkommen (..,x^(-4),1/x²,1,x²,x^4,..), dann ist das Polynom achsensymmetrisch zur y-Achse. Es gilt:
f(-x)=f(x)

Da die Ableitung einer ungeraden Potenz von x eine gerade Potenz von x ist, ist die Ableitung eines Polynoms, das nur aus ungeraden Potenzen von x besteht, ein Polynom, das nur aus geraden Potenzen von x besteht.
Da die Ableitung einer geraden Potenz (außer für x^0, das wird zu 0 und damit uninteressant) von x eine ungerade Potenz von x ist, ist die Ableitung eines Polynoms, das nur aus geraden Potenzen von x besteht, ein Polynom, das nur aus ungeraden Potenzen von x besteht.
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