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Nachricht |
P_hoeniKs
Full Member
Anmeldungsdatum: 22.07.2006
Beiträge: 134
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 Verfasst am: 22 Okt 2006 - 20:30:25 Titel: symmetrieverhalten |
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hi,
gibt es eigentlich einen Zusammenhang zwischen der Funktion und der ersten Ableitung bezüglich dem Symmetrieverhalten??
Z.B. f(x)=x^2 ist achsensymmetrisch
f`(x)=2x ist punktsymmetrisch
f(x)=x^3 ist punktsymmetrisch
f`(x)=3x^2 ist achsensymmetrisch
herrscht also ein genereller Zusammenhang bei diesem Thema oder hab ich bloß ein paar Zufälle rausgefischt???
MfG
Paul |
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cyrix42
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256
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| Verfasst am: 22 Okt 2006 - 20:33:55 Titel: |
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Hallo!
Betrachte mal f(x)=|x| 
Viele rüße, Cyrix |
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P_hoeniKs
Full Member
Anmeldungsdatum: 22.07.2006
Beiträge: 134
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| Verfasst am: 22 Okt 2006 - 22:36:18 Titel: |
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hallo,
was ist denn f`(x) von f(x)=lxl ????
MfG
Paul |
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cyrix42
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256
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| Verfasst am: 22 Okt 2006 - 22:42:14 Titel: |
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Hallo!
Selbst wenn f punkt- oder Achsen-symmetrisch ist, so muss sie noch nicht differenzierbar sein. 
Insofern ergibt deine Aussage nur dann Sinn, wenn sie über differenzierbare Funktionen f redet.
Ist f achsensymmetrisch (und differenzierbar), dann ist ja f(-x)=f(x).
Also auch
f'(x)=lim (h->0) [f(x+h)-f(x)]/h = lim (h->0) [f(-x-h)-f(-x)/h]
= lim (l->0) [f(-x+l)-f(-x)]/(-l) ; mit l:=-h
= - lim(l->0) [f(-x+l)-f(-x)]/l = -f'(-x).
Also ist f' punktsymmetrisch.
Analog anders herum.
Viele Grüße, Cyrix |
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Hiob
Senior Member
Anmeldungsdatum: 04.05.2005
Beiträge: 1379
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| Verfasst am: 22 Okt 2006 - 22:57:52 Titel: |
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@cyrix42: Sehr schön.
Hier nochmal mehr die Wort-Variante für Polynome.
| P_hoeniKs hat folgendes geschrieben: |
| was ist denn f`(x) von f(x)=lxl ???? |
Für f(x) = |x| gilt
f'(x)=-1, wenn x<0 und f'(x)=1, wenn x>0.
| P_hoeniKs hat folgendes geschrieben: |
| herrscht also ein genereller Zusammenhang bei diesem Thema oder hab ich bloß ein paar Zufälle rausgefischt??? |
Du hast einen Zusammenhang für eine überabzählbar unendlich große Menge von Spezialfällen gefunden.
Wenn in einem Polynom nur ungerade Potenzen von x vorkommen (..,x^(-3),1/x,x,x³,..), dann ist das Polynom punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Es gilt:
f(-x)=-f(x)
Wenn in einem Polynom nur gerade Potenzen von x vorkommen (..,x^(-4),1/x²,1,x²,x^4,..), dann ist das Polynom achsensymmetrisch zur y-Achse. Es gilt:
f(-x)=f(x)
Da die Ableitung einer ungeraden Potenz von x eine gerade Potenz von x ist, ist die Ableitung eines Polynoms, das nur aus ungeraden Potenzen von x besteht, ein Polynom, das nur aus geraden Potenzen von x besteht.
Da die Ableitung einer geraden Potenz (außer für x^0, das wird zu 0 und damit uninteressant) von x eine ungerade Potenz von x ist, ist die Ableitung eines Polynoms, das nur aus geraden Potenzen von x besteht, ein Polynom, das nur aus ungeraden Potenzen von x besteht. |
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