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Injektivität, Surjektivität, bijektivität einer Funktion
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Fabs87
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Anmeldungsdatum: 09.10.2006
Beiträge: 208

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2006 - 23:05:13    Titel: Injektivität, Surjektivität, bijektivität einer Funktion

Hi all!
Ich hab schon die Suchfunktion benutzt, hab aber nix gescheites über mein Problem gefunden:
Man soll folgende Funktion auf Injektivität, Surjektivität, Bijektivität, Beschränktheit und Monotonie untersuchen (man muss sie nicht beweisen!!!):

f(x) = x³+sqrt(x+2)
Nun Definitionsbereich ist klar: D={ |R>3}

und Monotonie auch:
lim x->unendl. (x³+sqrt(x+2)) = unendl.

Aber wie bestimmt man die Injektiv, Surjektivität, Bijektivität?
goldeagle
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Anmeldungsdatum: 20.04.2006
Beiträge: 208

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2006 - 23:11:02    Titel:

schau dir die funktion doch an. is n graph, der streng monoton steigend ist.

=> es gibt kein x, x_1 für das gilt f(x) = f(x_1) => injektiv
=> streng monoton steigend => jedem y-wert wird ein (hier nur einer, da injektiv) x-wert zugeordnet => surjektiv

da surjektiv und injektiv => bijektiv
Fabs87
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Anmeldungsdatum: 09.10.2006
Beiträge: 208

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2006 - 23:14:32    Titel:

ok schon. Aber was ist, wenn man nicht die Möglichkeit hat, den Graphen anzuschauen. Erkannt man, dass die Funktion streng monoton steigend ist nur dadurch, dass der Limes von der Funktion +unendlich ist?
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 24 Okt 2006 - 01:01:39    Titel:

Fabs87 hat folgendes geschrieben:
Man soll folgende Funktion auf Injektivität, Surjektivität, Bijektivität, Beschränktheit und Monotonie untersuchen (man muss sie nicht beweisen!!!):

f(x) = x³+sqrt(x+2)
Nun Definitionsbereich ist klar: D={ |R>3}
Von Definitionsbereich steht gar nichts in der Aufgabenstellung. Wie kommst Du auf |R>3? (D ist falsch, falls nicht direkt vorgegeben.)

Fabs87 hat folgendes geschrieben:
und Monotonie auch:
lim x->unendl. (x³+sqrt(x+2)) = unendl.
Der Limes hat nichts mit Monotonie zu tun. Damit die Funktion monoton ist, muß eine der zwei folgenden Eigenschaften gelten:
1) Für alle x und y aus D mit x<y gilt: f(x)≤f(y).
2) Für alle x und y aus D mit x<y gilt: f(x)≥f(y).

Man kann das umformulieren zu:
1) Für alle x aus D gilt: f'(x)≥0.
2) Für alle x aus D gilt: f'(x)≤0.

Fabs87 hat folgendes geschrieben:
Aber wie bestimmt man die Injektiv, Surjektivität, Bijektivität?
Schau mal bei Wikipedia vorbei: injektiv, surjektiv, bijektiv.
Eine Funktion ist injektiv, wenn sie keine zwei Elemente auf den gleichen Wert abbildet.
Eine Funktion ist surjektiv, wenn auf jeden Wert der Bildmenge abgebildet wird.
Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Was ist mit der Beschränktheit?
Eine Funktion ist beschränkt, wenn es ein m aus IR gibt, so daß für alle x aus D gilt: |f(x)|≤m.

goldeagle hat folgendes geschrieben:
=> es gibt kein x, x_1 für das gilt f(x) = f(x_1)
Falls D nicht vorgegeben ist, ist das falsch.

goldeagle hat folgendes geschrieben:
injektiv => streng monoton steigend
Kann auch streng monoton fallend sein.

goldeagle hat folgendes geschrieben:
streng monoton steigend => jedem y-wert wird ein (hier nur einer, da injektiv) x-wert zugeordnet
Es ist gar nicht klar, ob y nicht zum Beispiel -43 sein kann. Falls ja, ist f nicht surjektiv.

Fabs87 hat folgendes geschrieben:
ok schon. Aber was ist, wenn man nicht die Möglichkeit hat, den Graphen anzuschauen. Erkannt man, dass die Funktion streng monoton steigend ist nur dadurch, dass der Limes von der Funktion +unendlich ist?
Wie gesagt Monotonie hat nichts mit dem Limes zu tun. Wenn man die Funktion nicht sehen kann, muß man sich an die mathematischen Gegebenheiten halten.
Fabs87
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Anmeldungsdatum: 09.10.2006
Beiträge: 208

BeitragVerfasst am: 24 Okt 2006 - 20:01:39    Titel:

ohhh sorry, wegen dem Definitionsbereich. Den muss man auch ermitteln. Ich habe mich beim Post verschrieben und meine natürlich:
D= {x € IR | x>-3}
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 24 Okt 2006 - 20:57:53    Titel:

Und woher kommt die -3? Sollte es in der Aufgabenstellung vielleicht sqrt(x+3) heißen?
Fabs87
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Anmeldungsdatum: 09.10.2006
Beiträge: 208

BeitragVerfasst am: 25 Okt 2006 - 00:32:07    Titel:

ups, stimmt!!!!! Hab die Zahlen zw. -1 und 0 vergessen Wink
Aufgabenstellung passt.
Definitionsbereich muss heißen:
D= {x € IR | x>=-2}
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