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abelsche Gruppe oder überhaupt Gruppe?!
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> abelsche Gruppe oder überhaupt Gruppe?!
 
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Sinchen
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Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 36
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 20:34:52    Titel: abelsche Gruppe oder überhaupt Gruppe?!

Hallo an alle,

ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich gar nicht klar komme. Crying or Very sad Gruppen so an sich sind mir ja ein begriff, aber an der folgenden Aufgabe kann ich irgendwie nicht richtig erkennen, was ich eigentlich machen soll. Ich schreib euch mal die Aufgabe:

Sei A = { x € R: x > 1}. Zeigen Sie, dass x ° y := xy - x - y + 2 auf A eine Gruppenstruktur definiert. Ist (A,°) abelsch?

Ich versteh erstens nicht, was das "y" ist, weil es gar nicht definiert wurde und dann sehe ich auch keine Gruppe, sondern mehr ne Art Funktion oder sowas? Confused Könnt ihr mir da weiterhelfen?

Danke!!!!!!!!

Sinchen Wink
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 21:22:56    Titel:

x und y sind einfach zwei beliebige elemente deiner gruppe!
für jedes x , y in A definierst du
xoy = xy - x - y + 2

(A,o) ist eine gruppe. du musst also die gruppenaxiome prüfen:
1) für alle x,y in A ist auch xoy in A.
beweis:
x,y in A <=> x >1 und y>1
=> xy >1 und x+y >2
=> xy >1 und -x-y +2 >0
=> xy -x-y+2 >1
=> xoy >1
<=> xoy in A

2) die operation ist assoziativ, i.e. für alle x,y,z in A ist (xoy)oz = xo(yoz)
beweis:
(xoy)oz = (xy-x-y+2) oz = (xy - x - y + 2) z -(xy - x - y + 2) -z+2
=xyz -xz -yz +2z -xy +x+y -2 -z +2 = xyz -xz-yz -xy +x+y+z

xo(yoz) = xo(yz -y-z+2) = x(yz -y-z+2) -x -(yz -y-z+2) +2
=xyz -xy -xz +2x -x -yz +y+z -2 +2 = xyz -xy -xz -yz +x+y+z
indem du die zwei vergleichst stellt du fest dass (xoy)oz = xo(yoz)

3) 2 ist ein neutrales element:
2 in A, das ist ja trivial. desweiteren, für alle x in A:
xo2= x2 -x-2+2 =x
2ox = 2x-2-x+2 =x
also ist 2 ein neutrales element

4) für jedes x in A gibt es ein neutrales element in A, nämlich x/(x-1).
beweis:
da für alle x in A, x>(x-1) muss auch x/(x-1)>1, muss auch x/(x-1) in A
desweiteren gilt für alle x in A:
x o x/(x-1) = x *x/(x-1) -x -x/(x-1)+2 =(x² -x² +x -x)/(x-1) +2 =2
x/(x-1) o x = x/(x-1) *x -x/(x-1) -x+2 =(x² -x -x² +x)/(x-1) +2 =2
somit ist x/(x-1) das inverse von x

(A,o) erfüllt also die gruppen axiome, und damit ist (A,o) eine gruppe.

desweiteren ist sie offensichtlich abelsch, denn für alle x,y in A gilt
xoy = xy-x-y+2 = yx-y-x+2 =yox
Sinchen
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Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 36
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 22:16:45    Titel: Danke!

Danke schonmal!! Aber 2 Fragen hab ich noch:

Zum neutralen Element hast du geschrieben: "2 in A, das ist ja trivial. " Warum ist das trivial? Und wie ist das "2 in A" gemeint?

und die andere Frage:

Unter 4. hast du u.a. folgendes geschrieben: "x o x/(x-1) = x *x/(x-1) -x -x/(x-1)+2......."

Was ist das * für eine Rechenoperation? Führst du die an der Stelle ein?

Hoffe auf Antwort Embarassed

Sinchen
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 22:39:30    Titel:

Zitat:

Zum neutralen Element hast du geschrieben: "2 in A, das ist ja trivial. " Warum ist das trivial? Und wie ist das "2 in A" gemeint?

ja, warum ist das trivil... na weil A ganz einfahc die menge aller reellen zahlen ist die grösser sind als 1... und 2 ist bekanntlich grösser als 1 Wink
warum ist das wichtig...?
ja, weil dein neutrales element selbst ein element der gruppe sein muss...
oder anders...
nehmen air mal die menge B ={x in R| x>3}
ist (B,o) ne gruppe...?
nee, ist es nicht... denn das neutrale element, in diesem fall ja wieder die 2, ist kein element von B
capito ? Wink

Zitat:

Unter 4. hast du u.a. folgendes geschrieben: "x o x/(x-1) = x *x/(x-1) -x -x/(x-1)+2......."

Was ist das * für eine Rechenoperation? Führst du die an der Stelle ein?

* ist ganz einfach die multiplikation der reellen zahlen Wink
Sinchen
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Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 36
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 22:57:12    Titel: ahhhhaaaaaa :-))

Vielen, vielen Dank!! Musst ja denken, dass ich doof bin Wink aber ich habe so viele Zeichen kennen gelernt in den letzten Tagen, dass ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sehe Embarassed

Vielleicht kannst du mir noch bei ner anderen Aufgabe helfen?




da guck ich auch rauf und frag mich, was ich da machen soll Shocked

Freu mich sehr über ne kleine Hilfe!!

Sinchen
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
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BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 23:05:24    Titel:

a) eine (endliche) gruppe ist ja an sich durch ihre multiplikationstafel definiert.
vertausch jetzt in der letzten tafel die rollen von a und b. dann hast du 2x exakt die selbe tafel! also sind diese 2 gruppen isomorph (da sist ja genau das was isomorph bedeutet: es ist an sich die selbe gruppe, da sie dieselbe mutiplikationstafel hat... sie hat sich nur anders "verleidet")

b) der ersten tabelle kannst du entnehmen dass dort alle elemente ihre eigenen inversen sind. das ist in der zweiten nicht der fall, also können sie nicht isomorph sein
(wären sie isomorph, dann wäre es dieselbe gruppe, nur anders "verkleidet", aber dann müsste in der zweiten auch jedes element sein eigenes inverses sein.)
Sinchen
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Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 36
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 00:05:23    Titel:

Mehr muss man dan da gar nicht machen??

Muss jetzt nur noch verstehen, wie du das mit dem a und b vertauschen meinst..

Sinchen
Sinchen
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Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 36
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 21:07:53    Titel: nix verstehn

Wir haben uns diese Aufgabe heute noch mal zu viert angeschaut, kommen aber nicht wirklich dahinter, wie das mit dem Vertauschen gemeint ist? Es gibt ja auch eine Formel für isomorphe Gruppen. Aber mit der konnten wir auch nicht viel anfangen.. Kann un snoch mal jemand ein bisschen helfen?

Danke!!

Sinchen
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 21:35:24    Titel:

also das vertauschen... es ist ja so... wie du deine elemente nnennst ist ja egal... was du jetzt a und was b nennst ist ja egal...

schreib in der letzten tabelle überall b wo a steht. das ändert ja ncihts an der gruppe... was du a und was du b nennst ist ja egal

dann vertauschst du die 2te und die 3te kolonne

dann vertauschst du die 2te und 3te reihe...

das macht ja keinen unterschied in welcher reihenfolge du deine reihen und kolonnen deiner tabelle schreibst...

dann vergleichst du... o wunder... die gleiche tabelle Very Happy

wenn du dich jetzt fragst wie dieses wunder zustande kam... dein isomorphismus ist an sich
g(e) = e
g(a) = b
g(b) = a
g(c) = c

g ist offensichtlich injektiv, da nur e auf e abgebildet wird. g ist auch offensichtlich surjektiv, da alle 4 elemente erreicht wwerden
also ist g shconmal bijektiv
dann müsstest du noch alle gruppengesetze verifizieren...
aber da das laaaannngggwierig ist, geht es schneller indem du das "vertauschst"... diese "vertauschung" ist nichts anderes als dein isomorphismus!

ich hoffe das konnte dir helfen... Smile
Sinchen
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Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 36
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 23:52:27    Titel: frage

Sag mal Rulli,

ganz oben schreibst du folgendes:

(A,o) ist eine gruppe. du musst also die gruppenaxiome prüfen:
1) für alle x,y in A ist auch xoy in A.
beweis:
x,y in A <=> x >1 und y>1
=> xy >1 und x+y >2
=> xy >1 und -x-y +2 >0
=> xy -x-y+2 >1
=> xoy >1
<=> xoy in A


Zur Zeile: -x-y +2 >0
Wenn x und y > 1 sein sollen, dann kann doch -x-y + 2 nicht größer als 0 sein, oder? Weil wir für -x-y bekommt man doch auf jeden Fall eine Zahl kleiner/gleich -2 raus?!

Bitte um schnelle Hilfe!!!!!!!

Sinchen
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