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Teiler und ggT
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Julia1983
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2004 - 16:55:55    Titel:

Hmmm Sad

Das ist nicht gut
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2004 - 16:59:29    Titel:

Also das war mein Lösungsvorschlag:

x | z und y | z <=> z = 0 (mod x) und z = 0 (mod y) <=> z = 0 (mod kgV(x,y)) => (ggT(x,y) = 1 => kgV(x,y) = xy) z = 0 (mod xy) <=> x y | z

Ich schreibe das mal so um, dass es ohne Restklassenringen usw. auskommt:

x | z und y | z <=>
ex. k (x * k = z) und ex. l (y * l = z) <=> Relativ einfache Folgerung (i)
ex. v (kgV(x,y) * v = z) <=> Da ggT(x,y) = 1 folgt kgV(x,y) = x*y (Wieder fast schon trivial) (ii)
ex. v (x*y *v = z) <=>
x*y | z

Die beiden Folgerungen macht man normal in der Vorlesung. Die sind trivial. Soll ich die beweisen?
Julia 1983
Gast






BeitragVerfasst am: 21 Nov 2004 - 18:18:01    Titel:

das wäre nett
Julia1983
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2004 - 18:20:12    Titel:

Sehr nett, dass hier wer meinen Namen benutzt Evil or Very Mad
algebrafreak
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2004 - 10:48:58    Titel:

Ich glaube die Sache ist ehe Geschichte, aber ich schreibe die Beweise der Vollständigkeit wegen nochmal hin:

x | z und y | z => kgV(x,y) | z.

Der am einfachsten zu verstehende Beweis, meiner Meinung nach, ist: Sei z = p_1^z_1 * ... * p_n^e_n die Primfaktorzerlegung von z und x = p_1^x_1 * ... * p_n^x_n die von x und y = p_1^y_1 * ... * p_n^y_n die von y. Nach Vor. gilt x_i <= z_i und y_i <= z_i. Dann folgt für kgV(x,y) = p_1^m_1 * ... *p_n^m_n dass m_i = max{x_i,y_i} <= x_i und <= y_i also auch <= z_i. D.h. kgV(x,y) | z.

ggT(x,y) = 1 => kgV(x,y) = x*y.

Naja. kgV(x,y) = x* y / ggT(x,y) = x*y / 1 = x*y.
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