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Vektorräume und K-Freiheit
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RindEastwood
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Anmeldungsdatum: 10.11.2004
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 00:42:32    Titel: Vektorräume und K-Freiheit

Grüble gerade über folgender Aufgabe:

Seien (V,w), (V',w') Vektorräume, f: V -> V' sei K-linear, (a_i)_i€I sei eine Familie und V,I != 0
Zeige
(1) f((a_i)) ist K-frei => (a_i) ist K-frei
(2) V = <(a_i)>_K ^ f: V -> V' ist surjektiv => <(f((a_i))> = V'

(1) ist mir eigentlich klar... zumindest leuchtet´s anschaulich ein, aber (2) ist schon kniffliger... < > soll übrigens Erzeugendensystem sein..

Danke für eure Hilfen schonmal..


Grüße, Rind
RindEastwood
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Anmeldungsdatum: 10.11.2004
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 17:42:50    Titel:

Ja wieeee, kann das keiner? Versager! Wink Laughing Twisted Evil Embarassed Razz Mad
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 18:40:43    Titel:

also zu 1)
a1, ... ,an ist K-frei genau dann wenn aus x1 a1 +...+ xn an =0 folgt x1=...=xn =0
x1 a1 +...+ xn an =0
=> f(x1 a1 +...+ xn an) =0
=> x1 f(a1) +...+ xn f(an) =0
=> x1 =... =xn =0, da f(a1),..., f(an) K-frei ist

zu 2)
f surjektiv bedeutet dass Bild(f) =V' <=> für jedes v in V' gibt es ein u in V sodass v=f(u)
da a1,...,an ein erzeugendensystem von V ist, gib es x1,..., xn sodass
u = x1 a1 +... + xn an
=>v=f(u) = x1 f(a1) +...+ xn f(an)
also lässt sich jedes v in V' als eine linearkombination aus f(a1),...,f(an) darstellen, und somit ist f(a1), ..., f(an) ein erzeugendensystem für V'
RindEastwood
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Anmeldungsdatum: 10.11.2004
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 17 Nov 2004 - 03:41:48    Titel:

danke Smile

(hab nix gesagt *g* )
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