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Abbildung ein Ring?
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franziska22
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Anmeldungsdatum: 06.11.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 13:24:33    Titel: Abbildung ein Ring?

Habe zu dieser Aufgabe eine Frage.


Betrachten Sie die Menge von Abbildungen Abb(R, R) := {f: R --> R}. Zeigen Sie dass Abb(R, R) mit punktweiser Addition und Multiplikation von Abbildungen ein Ring ist.

Und zwar, muss ich sozusagen zwei Beweise machen? Also ein mal für Multiplikation und ein mal für die Addition ? Oder geht das anders allgemein?



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Gast







BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 13:56:37    Titel:

ja
Gast







BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 13:57:50    Titel:

nein
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 13:59:21    Titel:

Ringaxiome überprüfen. Eins nach dem anderen. Ich sage mal, es ist relativ trivial.
franziska22
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Anmeldungsdatum: 06.11.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 15:54:01    Titel:

Wir haben folgendes definiert...

a) Für alle a E R ist a * 0 = 0 * a = 0.
b) Ist R 6 ungleich {0} und hat R eine 1, so ist 1 ungleich 0.
c) (-a)*b = -(ab)=a*(-b) für a,b E R
d) Ist R ein Körper und a * b = 0 so ist a = 0 oder b = 0.
e) Ist R ein Körper, so ist a^2 = 1 äquivalent zu a = 1 oder a = 1.-

Beweis: a) a * 0 = a * (0 + 0) = a * 0 + a * 0, also 0 = a * 0; analog 0 * a = 0.
b) Sei a E R - {0}. Es ist a * 0 = 0 ungleich a = a * 1, also 0 ungleich 1
c) a*b + (-a) * b = (a+(-a))*b=0*b=0, also (-a)*b=-(a*b); Rest analog
d) Ist a ungleich 0, so ist b = (a^-1 * a)*b=a^-1*(a*b)=a^-1*0=0
e) a = 1 und a = -1 tun's: 1* 1 = 1, (-1) * (-1) = -(-1) * 1 =-(-1) = 1;
sei a^2 = 1: 0 = a^2 - 1=(a-1)(a+1), also wegen d) a-1 = 0 oder a+1=0.
q.e.d.

So steht das im Skript drin. Aber wie mache ich es für f: (R-->R) ?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 16:09:45    Titel:

Das sind beweisbare Eigenschaften, keine Axiome. Axiome betrachtest Du als gültig in deinem Kontext. Für Ring (M,+,*)

i) (M,+,0) ist eine kommutative Gruppe mit 0 (das mit 0 ist Absicht, damit Du Weisst, dass Du die finden musst)
ii) * ist assoziativ
iii) Es gelten die beiden Distributivitätsgesetze
a * (b+c) = ab + ac
(b+c)*a = ba + bc

Das musst Du nacheinander überpfrüfen:

Sei f in R^R. Dann ist z.B. -f in R^R das inverse bzg. +. 0 in R^R ist 0 bzg. + und so weiter.

Wie gesagt nur Rechnen.
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