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Aquivalenz im Vektorraum
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Janka
Gast






BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 18:15:14    Titel: Aquivalenz im Vektorraum

Gegeben: V-Vektorraum. v€V, S€V. S-unabhängiger Teilraum, v-Vektor.

Was denkt ihr, sind die Aussagen a und b aquivalent?:

a) v ungleich Span(S)
b) v Vereinigung S - linear unabhängig.

Warum?
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 18:26:09    Titel:

bitte die frage etwas genauer formulieren...
was soll S sein, also was verstehst du unter einem "unabhängigen"teilraum

Zitat:

a) v ungleich Span(S)
b) v Vereinigung S - linear unabhängig.


da S ein unterraum ist, ist Span( S) sinnlos, das wäre wieder S...
v ist ein vektor von V, Span(S) ein unteraum von V, natürlich muss dann v ungleich Span(S), es siond ja ganz verschiedene objekte!
zu b): wie willst du nen vektor mit S vereinigen? was wäre dann das ergebnis?

bitte die frage genauer formulieren...
Janka
Gast






BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 18:35:50    Titel: Die Aufgabe lautet:

Also die Aufgabe selbst:
Gegeben: Vektorraum V über K. S ist die Teilmenge von V. S ist linear unabhängig, d.h. die Vektoren in S sind linear unabhängig. v- ein Vektor aus V, so dass v ungleich € Span(S). Zeige, dass dann S Vereinigung v linear unabhängig ist.
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 18:52:45    Titel:

aaaahhhh.... S ist eine Teilmenge... ja das ändert schonmal alles... Smile

ok... wir beweisen die kontraposition, also wir nehemn an die vereinigung von v mit S sei linear abhängig, und daraus muss dann folgen dass v in span(S) liegt.

nehmen wir an S={a1,...,an}, und S ist linear unabhängig.
wenn {v} u S linear abhängig ist, bedeutet dies dass es in {v} u S mindesten einen veltor gibt der sich als linear kombination der anderen darstellen lässt.
da du jetzt weisst dass alle vektoren in S linear unabhängig sind, und {v}uS löinear abhängig, muss v als linearkombination der vektoren aus S darstellbar sein... aber dies ist genau dann der fall wenn v in Span(S)

in die andere richtung ist es trivial... nimm an {v}uS sei linear unabhängig. dann kann v nicht als linearkombinition der vektoren aus S darstellbar sein. aber das bedeutet gerade dass v nicht in Span(S)
Gast







BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 19:18:27    Titel:

Danke für dei Antwort, Rulli.
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