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Was ist ein affiner Raum?
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Janka
Gast






BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 22:20:47    Titel: Was ist ein affiner Raum?

Erklärt mir bitte, was ein affiner Raum ist (mit konkretten Bespielen).
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2004 - 22:38:22    Titel:

ein affiner raum ist, der definition nach, ein triplet (E,V, f), wobei
- E eine nicht leere menge ist (der punktraum)
- ein vektorraum
- f:ExE -> V sodass
1) f(A,B) + f(B,C) = f(A,C)
2) für jedes v in V und jedes A in E gibt es ein einziges B in E mit f(A,B) =v

was bedeutet das nun...?
es ist eigentlich nicht weiter als die mathematische formulierung der geometrie, wie du sie bereits aus dem gymnasium kennst...

geometrie basiert auf vektoren... nur reichen vektorräume allein nciht aus um geometrie zu machen, da in vektorräumen keine translationen erlaubt sind, alle geraden müssen durch den nullpunkt gehn, etc.
in einem affinen raum geht das alles!

an sich kannst du es als eine verallgemeinerung eines vektorraumes ansehn, in dem du nun auch "sachen verrücken" kannst (-> translationen)

konkrete beispiele sind:

wenn V ein vektorraum ist, dann ist (V,V,f), mit f(u,v) = u-v ein affiner raum. jeder vektorraum kann also zu nem affinen raum erweitert werden!

ein anderes konkretes beispiel ist R² und R³ (es funktioniert natürlich auch mit R^n)
nehmen wir die geometrie in der ebene (R²). wenn du R² nur als vektorraum siehst, dann müssen alle geraden (=unterräume) durch den nullpunkt gehn. siehst du es aber als affinen raum, dann erhählst du ALLE geraden der ebene als unterräume. es ist ist also das was du brauchst um geometrie zu machen!
genau so geht es auch mit R³

in diesen räumen kannst du nun genau definieren was paralelität ist, geraden, ebenen, etc.
jjedoch keine distanzen und winkel, dafür benötigst du ein skalarprodukt auf deinem vektorraum!

an sich sind es lauter sachen die du weisst, normalerweise... nur dass sie hier ganz formal eingeführt werden. behalt immer die geometrie von R² und R³ im hinterkopf, dann ist es kein problem

ich hoffe das konnte etwas licht in die sache bringen
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