Zahlen/Mengen: Aber wo sind die Axiome?

quadrat · Junior Member Anmeldungsdatum: 10.04.2006 Beiträge: 74

Guten Tag Allerseits

Zahlen/Mengen: Aber wo sind die Axiome?

Es ist doch so:

1) das System der Zahlen kann axiomatisch konstruiert werden auf mindestens drei Arten; nämlich auf

A) die Peanosche Weise (fünf Axiome: 1, Nachfolger,...):
von den natürl. Zahlen aus die anderen herleiten

B) die Dedekindesche Weise (Schnitte)

C) die "moderne" Weise mittels:
a) Objekte (genannt relle Zahlen)
b) Körperaxiome, Ordungsax., Schnittax.

Dazu sagt man: ..entscheidend ist dann nur, dass man im deduktiven Prozess dann nichts anderes mehr benutz als diese Grundsätze (Axiome) und daraus Gefolgertes.

Also: keiner verlangt hier, dass man die Axiome (innerhalb der Zahlenlehre) beweisen soll; bei keiner von den drei Weisen.

2. Aber wie sieht die Sache bei den Mengen aus.

Man sagt doch: die Mengenlehre stellt Mittel zu Verfügung, die die Axiome der drei obigen Weisen das Zahlensystem zu bauen, zu beweisbaren Sätzen machen.

Soweit so gut(?).

Jetzt aber: die Mengenlehre ist doch selber auch ein axiomat. System; hat doch ebenfalls
a) Objekte: Elemente, Mengen
b) Operationen: vereinigen, schneiden, differenzeln;
und diese Operationen sind doch in den Axiomen der Mengenlehre festgelgt: Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz:
und aber Axiome (das gilt auch für die der Mengenlehre) werden nicht weiter 'untergangen'.

Soweit so gut(?).

Jetzt aber sehe ich da, dass bewiesen werden:
das Assoziative, das Kommutative, das Distributive Gesetz, ...; das sind jetzt alles nur Sätze.

Das heisst also: diese Gesetze sind in der Mengenlehre keine Axiome.

Was sind dann Axiome der Mengenlehre?
Diese Frage ist für das Beweisen in der ML nicht unerheblich.
Was sicher in der ML da ist:
a) Objekte: Elemente und Mengen
b) Operationen (vereinigen, schneiden, differenzeln): dh. deren Definitionen
c) ABER WO sind die AXIOME der ML?

Für allfällige Hinweise, sachdienliche Anmerkungen, Fehlanmerkungen und Erleuchtungen danke ich mal zum voraus und wünsche sowieso einen angenehmen Tag

quadrat

cyrix42 · Valued Contributor Anmeldungsdatum: 14.08.2006 Beiträge: 22635

Hallo!

Suche mal nach Zermelo-Fraenkel. Die zwei haben das gängige Axiomensystem der Mengenlehre (ZF bzw ZFC, wenn man als zusätzliches Axiom das Auswahlaxiom hinzunimmt) entwickelt.

Viele Grüße, Cyrix

quadrat · Junior Member Anmeldungsdatum: 10.04.2006 Beiträge: 74

Guten Tag cyrix42

"...Suche mal nach Zermelo-Fraenkel..."

Sehr gut: da sind 10 ZFC-Axiome (Extensionalitätsschema, Nullmengenax., ..)

Für den Beweis zb des ml-Satzes
der Distributivität: A n (B u C) = (A n B) u (A n C) -----n:= schneide, u:= vereinige, el:= Element von

Beweis: x el [A n (B u C)]
<===> x el A UND x el (B u C)------------------------gem. Df. von n
<===> x el A UND [x el B ODER x el C]--------------gem. Df. von u
<===> (x el A UND B) ODER (x el A UND C)---------aussagenlog. Umformung
<===> x el A n B ODER x el A n C--------------------gem. Df. von n
<===> x el (A n B) u (A n C)---------------------------gem. Df. von u

...für diesen Beweis und auch viele ~andere: wo sind da die ZFC-Axiome?
Ich sehe nur Definitionen und eine Umformung: man kann direkt sagen, hier wird bewiesen aus Definitionen (nicht aus Axiomen).

Das kann aber wohl nicht sein (angesichts des Aufhebens Mr. Green

):
sagt man daher: in der Df. der Schnittmenge sind die ZFC-Axiome jene fundierend vorhanden?
Kurz: wie ist das Verhältnis von ZFC-Ax. und den Definitionen im obigen Beweis?

Gruss
quadrat

cyrix42 · Valued Contributor Anmeldungsdatum: 14.08.2006 Beiträge: 22635

Hallo!

Der obige Beweis benutzt extensiv ziemlich viele der ZF-Axiome, nur sagt er es nicht.

Erst einmal benötigt er die Existenz von Mengen, sonst ist das ganze witzlos (Leermengenaxiom). Dann braucht er die Existenz der Vereinigung zweier Mengen (Paarmengen- und Vereinigungsaxiom), sowie das Aussonderungsaxiom für die Existenz des Schnittes (genauer: Vereinigung und Schnitt zweier Mengen werden mit den entspr. Axiomen definiert).

Was der Beweis aber wirklich offensichtlich benutzt, ist das Extensionalitätsaxiom; zwei Mengen sind gleich genau dann, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.

Viele Grüße, Cyrix

quadrat · Junior Member Anmeldungsdatum: 10.04.2006 Beiträge: 74

Guten Tag cyrix42

"...Der obige Beweis benutzt extensiv ziemlich viele der ZF-Axiome, ..."

D.h. dann(?):
am Anfang der ML stehen:

1) Objekte: Element und Menge: die 'hat' man einfach -ebenso wie man beim 'modernen' Bau des Zahlensystems einfach Objekte hat und diese als reelle Zahlen benennt)

2) ZF-Axiomen/Schemate: diese stellt man auf (man 'hat' sie einfach, sind gegeben und sollen gelten); sie sind die Regeln, nach denen obige Objekte zusammengestellt werden dürfen.

Also: mit diesen zwei Momenten baut -wer's versteht- das ganze Gebäude der ML?

Ist das soweit richtig?

Gruss
quadrat

cyrix42 · Valued Contributor Anmeldungsdatum: 14.08.2006 Beiträge: 22635

Hallo!

Naja, man "hat" eigentlich nicht viel: Das Leermengenaxiom garantiert die Existenz der leeren Menge. Und nur, was sich aus dieser durch die anderen Axiome erzeugen lässt, nennen wir Menge.

Meist werden aber gebräuchlichere Abkürzungen eingeführt, z.B. 0:={}; 1:={{}}={0}; 2:={{};{}{}}={0;1}; ...

Viele Grüße, Cyrix

quadrat · Junior Member Anmeldungsdatum: 10.04.2006 Beiträge: 74

Hallo und guten Abend cyrix42

"...Naja, man "hat" eigentlich nicht viel: Das Leermengenaxiom garantiert die Existenz der leeren Menge. Und nur, was sich aus dieser durch die anderen Axiome erzeugen lässt, nennen wir Menge..."

D.h. dann:
A) die 10 ZFC-Ax./Schemata sind die ganze ML im Kern?
Die ML wäre dann aus einem Moment (das sowohl die Objekte als auch die Regeln umfasst) gebaut.

B) Das wäre dann eine eigene Form der Grundlegung?
Denn die 'moderne' Form der Grundlegung des Zahlensystems ist ja aus zwei Momenten gebaut.:
1) Objekte: genannt reelle Zahlen
2) Axiome: Körperax., Ordungsax., Schnittax.
Hier wird unterschieden: Objekte und Regeln; und Axiome umfassen nur die Regeln.

"... 0:={}; 1:={{}}={0}; 2:={{};{}{}}={0;1}; ... "

Das kann ich jetzt nicht einordnen.
Es scheint eine Folge zu sein; dann wäre das nächste Glied:
3:= {{};{}{};{}{}{}}} = {0;1;2} ???

Sie scheint wohl beliebig grosse nat. Zahlen darzustellen.
Als Folge hätte sie dann ein Bildungsgesetz: ???
Daraus liessen sich dann Reihen formen....
....
Ich sehe noch nicht einmal, wieso Du das hier anführst.
Willst Du zeigen: aus den Mengen kann man die nat. Zahlen erzeugen?

Gruss
quadrat