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Beweis
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far cry
Gast






BeitragVerfasst am: 17 Nov 2004 - 20:06:35    Titel: Beweis

Hallo!!! Hab schwierigkeiten beim Lösen der Aufgabe:
Man zeige: eine Zahlenfolge a(n) für n€N konvergiert genau dann, wenn die drei Teilfolgen a(2k), a(2k+1), a(3k) für k€N konvergieren.
Weiss jemand wie das geht? Wie kann man es zeigen, wenn die Zahlenfolge nicht mal angegeben ist? Question Exclamation
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 17 Nov 2004 - 22:06:16    Titel:

Die eine Richtung des Beweises ist natürlich trivial, denn wenn a_n selbst konvergiert, dann auch jede Teilfolge von a_n. Die Umkehrung ist schwierig(er), da fällt mir auch erstmal nix ein. Sad
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2004 - 11:43:04    Titel:

Die andere Richtung ist doch fast noch trivialer und folgt aus den Grenzwertsätzen:

Seien a(2k) und a(2k+1) konvergente Folgen, dann ist auch die folge (a(2k) + a(2k+1)) konvergent und besitzt den Grenzwert lim(a(2k)+a(2k+1)) = lim a(2k) + lim a(2k+1).

Bleibt noch zu zeigen, dass a(2k) + a(2k+1) = an, was aber eigentlich ebenfalls trivial ist, oder sich im zweifelsfall auch durch induktion zeigen lassen sollte.
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2004 - 11:49:27    Titel:

ups, sorry, schwerer fehler. a(2k) + a(2k+1) = an ist natürlich nicht trivial, sondern falsch.
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2004 - 11:54:25    Titel:

Trotzdem ist der Beweis, glaube ich, recht einfach:

a(2k) und a(2k+1) müssen nämlich gegen den selben Grenzwert konvergieren. Damit konvergiert auch an gegen diesen Grenzwert.

Würden die beiden Folgen gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren, dann würden die geraden Glieder von a(3k) gegen lim a(2k) und die ungeraden gegen lim a(2k+1) konvergieren und a(3k) wäre divergent.

Bleibt also blos noch die Frage, wie man das formuliert.
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