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Frage zu Aufgaben mit Abbildungen...
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kittyy
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Anmeldungsdatum: 23.10.2006
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2006 - 17:50:40    Titel: Frage zu Aufgaben mit Abbildungen...

Ich hab hier zwei Aufgaben, ich schreibe dir mal eben auf und stelle die Fragen.

1) Es ex. A={1, 2, 3}. Wie viele injektive Abbildungen f:A --> P(A) gibt es?

2) Es ex. k={1, 2, 3, ..., k}.
Die Menge der Abbildungen lautet (R ist die Menge der reellen Zahlen):

Abb(k,R) = {f:k --> R}

Konstruieren Sie eine bijektive Abbildung

F: R^k --> Abb{k,R}



So... bei 1) weiß ich nicht genau wie das gemeint ist.
Wenn man jetzt z.B. ein x aus A wählt, sagen wir mal, die Zahl 1, kann man dann die Zahl 1 nur auf 1 abbilden, oder auch auf {1,2}?
Kann man überhaupt nur die 3 Zahlen abbilden oder kann man auch sagen, man bildet (1,2) auf z.B. {1,2,3} ab?


Bei 2) muss man ja irgendwas aus der Menge R^k auf die Abbildung (k,R) bringen.
Das ganze soll bijektiv sein.
Kann man nun sagen, dass man für k = 2 wählt und folgende Abbildung konstruiert:

F: (x,y)---> (2,y)?


Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann!
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2006 - 18:42:31    Titel: Re: Frage zu Aufgaben mit Abbildungen...

kittyy hat folgendes geschrieben:
So... bei 1) weiß ich nicht genau wie das gemeint ist.
Wenn man jetzt z.B. ein x aus A wählt, sagen wir mal, die Zahl 1, kann man dann die Zahl 1 nur auf 1 abbilden, oder auch auf {1,2}?
Kann man überhaupt nur die 3 Zahlen abbilden oder kann man auch sagen, man bildet (1,2) auf z.B. {1,2,3} ab?
f bildet Elemente von A auf Elemente von P(A) ab. Elemente von A sind 1, 2 oder 3, Elemente von P(A) sind Ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3} oder {1,2,3}, also Mengen.
kittyy hat folgendes geschrieben:
Bei 2) muss man ja irgendwas aus der Menge R^k auf die Abbildung (k,R) bringen.
Das ganze soll bijektiv sein.
Kann man nun sagen, dass man für k = 2 wählt und folgende Abbildung konstruiert:
F: (x,y)---> (2,y)?
Wie wäre es hier mit F bildet (x,y) ab auf die Funkion, die 1 auf x und 2 auf y abbildet?
kittyy
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Anmeldungsdatum: 23.10.2006
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2006 - 19:56:33    Titel:

thx für die Antwort!

bei 1) kapiere ich das gerade nicht - wie kann man ein Element auf eine Menge abbilden?
kann man sagen, f: x--> {x}? Dann gäbe es doch 3 injektive Abbildungen, nämlich (1,{1}), (2,{2}), (3,{3}) ?
oder wie ist das gemeint?

und 2)

"Wie wäre es hier mit F bildet (x,y) ab auf die Funkion, die 1 auf x und 2 auf y abbildet?"

Die Funktion, die 1 auf x und 2 auf y abbildet, wäre ja f: (x,y)--> (1,2), oder?
Wie aber kann F (x,y) auf eine Funktion abbilden?!

Wäre meine Idee nicht möglich?

Es wär nett wenn du nochmal antworten würdest!
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2006 - 20:28:05    Titel:

kittyy hat folgendes geschrieben:
wie kann man ein Element auf eine Menge abbilden?
Angenommen Du zählst Besteck durch, dann bildest Du eigentlich Elemente der natürlichen Zahlenmenge auf Elemente zum Beispiel des Besteckkastens ab. Man könnte auch sagen, daß Du natürliche Zahlen auf Mengen von Metall abbildest.
kittyy hat folgendes geschrieben:
Dann gäbe es doch 3 injektive Abbildungen, nämlich (1,{1}), (2,{2}), (3,{3}) ?
Das ist maximal eine Abbildung.
Wieviele Möglichkeiten gibt es für f(1)=x, f(2)=y, f(3)=z mit x,y,z aus P(A)?
kittyy hat folgendes geschrieben:
Die Funktion, die 1 auf x und 2 auf y abbildet, wäre ja f: (x,y)--> (1,2), oder?
Nein, die Funktion beschreibt man so:
f:{1,2}->ℝ mit f(1)=x und f(2)=y.
kittyy
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Anmeldungsdatum: 23.10.2006
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2006 - 21:32:55    Titel:

tut mir echt leid, vielleicht bin ich blöd, aber ich kapiere das gerade alles so gar nicht.

also wenn man mal die Abbildungen bei 1 durchgeht:

man könnte der 1, 2 sowie der 3 doch die {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} zuordnen - die leere Menge ist dich kein Element, oder?
wie heißen denn dann die Funktionsvorschriften?
Und welche davon sind injektiv?

und bei 2) Nein, die Funktion beschreibt man so:
f:{1,2}->ℝ mit f(1)=x und f(2)=y.

was ist das Kästchen?
Und wieso ist das dann bijektiv?
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2006 - 23:31:24    Titel:

kittyy hat folgendes geschrieben:
die leere Menge ist dich kein Element, oder?
Doch, ist sie.
kittyy hat folgendes geschrieben:
also wenn man mal die Abbildungen bei 1 durchgeht:

man könnte der 1, 2 sowie der 3 doch die {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} zuordnen -
wie heißen denn dann die Funktionsvorschriften?
Für eine Abbildung gibt man eine Menge an, aus der sie abbildet (A) und eine Menge, in die sie abbildet (P(A)). Außerdem gibt man an, wie die Abbildung ein Element der Grundmenge abbildet.
Für die Abbildungen hier macht man das am besten durch direkte Angabe, zum Beispiel:
f(1)={2}, f(2)=Ø, f(3)={1,2,3}

Injektiv sind dabei jene Abbildungen f, für die gilt f(1)≠f(2)≠f(3)≠f(1).

kittyy hat folgendes geschrieben:
f:{1,2}->ℝ mit f(1)=x und f(2)=y.
was ist das Kästchen?
Und wieso ist das dann bijektiv?
Das hinter "->" soll das IR sein, das für die reellen Zahlen steht.
F(x,y) ist dabei bijektiv, weil unterschiedliche Paare (x,y) auch auf unterschiedliche Funktionen f:{1,2}->IR abgebildet werden und weil es für jede Funktion f:{1,2}->IR ein (x,y) gibt mit F(x,y)=f.


Zuletzt bearbeitet von Hiob am 05 Nov 2006 - 13:41:00, insgesamt einmal bearbeitet
kittyy
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Anmeldungsdatum: 23.10.2006
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2006 - 11:11:38    Titel:

Für eine Abbildung gibt man eine Menge an, aus der sie abbildet (A) und eine Menge, in die sie abbildet (P(A)). Außerdem gibt man an, wie die Abbildung ein Element der Grundmenge abbildet.
Für die Abbildungen hier macht man das am besten durch direkte Angabe, zum Beisiel:
f(1)={2}, f(2)=Ø, f(3)={1,2,3}

Injektiv sind dabei jene Abbildungen f, für die gilt f(1)≠f(2)≠f(3)≠f(1).
---------------------------------------------------------------------------------


Ok, ich versuche das jetzt nochmal nachzuvollziehen.

Mögliche Abbildungen wären doch dann (jetzt mal ganz langsam für blöde leute wie mich) folgende:
f(1)=Ø
f(2)=Ø
f(3)=Ø

f(1)={1}
f(2)={1}
f(3)={1}

f(1)={2}
f(2)={2}
f(3)={2}

f(1)={3}
f(2)={3}
f(3)={3}

f(1)={1,2}
f(2)={1,2}
f(3)={1,2}

f(1)={1,3}
f(2)={1,3}
f(3)={1,3}

f(1)={2,3}
f(2)={2,3}
f(3)={2,3}

f(1)={1,2,3}
f(2)={1,2,3}
f(3)={1,2,3}

aber injektiv sind die abbildungen doch nur, wenn gilt:
f(1)ungleichf(2) und wenn daraus folgt - achja, das tt es ja natürlich, 1 ist ja immer ungleich 2.
was ist aber damit?
f(1)≠f(1). Wenn das injektiv wäre, müsste doch daraus geschlossen werden, dass 1 auch ungleich 1 ist, oder nicht?
ich hätte jetzt gedacht, in dem fall wäre es nicht injektiv.

ich hätte jetzt sonst einfach alle möglichkeiten miteinander kombiniert.
also aus jedem block oben einen rausgenommen und die möglichkeiten kombiniert.
und da gäbe es dann ja 8*7*6, hätte ich gedacht. ich hätte also auf 336 injektive abbildungen getippt.

das ist aber falsch? Sad


Das hinter "->" soll das IR sein, das für die reellen Zahlen steht.
F(x,y) ist dabei bijektiv, weil unterschiedliche Paare (x,y) auch auf unterschiedliche Funktionen f:{1,2}->IR abgebildet werden und weil es für jede Funktion f:{1,2}->IR ein (x,y) gibt mit F(x,y)=f.
_________________

Aber wenn man (1,2) auf R abbildet, dann weiß man doch gar nicht, worauf man das abbilden soll?!
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2006 - 14:08:13    Titel:

kittyy hat folgendes geschrieben:
Mögliche Abbildungen wären doch dann (jetzt mal ganz langsam für blöde leute wie mich) folgende:...
Du hast jetzt alle möglichen Einzelabbildungen aufgeschrieben. Eine Abbildung von A nach P(A) ist aber immer eine Kombination von drei Einzelabbildungen, wobei dann jedes Element aus A abgebildet werden muß. Fast man jeden Deiner Blöcke als eine Abbildung auf, so hast Du acht Abbildungen angegeben. Dann gibt es noch 504 andere mögliche Abbildungen.

kittyy hat folgendes geschrieben:
aber injektiv sind die abbildungen doch nur, wenn gilt:
f(1)ungleichf(2) und wenn daraus folgt - achja, das tt es ja natürlich, 1 ist ja immer ungleich 2.
was ist aber damit?
f(1)≠f(1). Wenn das injektiv wäre, müsste doch daraus geschlossen werden, dass 1 auch ungleich 1 ist, oder nicht?
ich hätte jetzt gedacht, in dem fall wäre es nicht injektiv.
Wenn man die Gleichheit von f(a) zu f(b) prüft, dann prüft man nicht, ob a und b gleich sind, sondern ob f(a) und f(b), also die Funktionswerte (hier Mengen, also Elemente aus P(A)), gleich sind.
In welchem Zusammenhang bist Du eigentlich mit dieser Aufgabe konfrontiert worden? Was ich eben zitiert habe, weist auf erhebliche Defizite, was das Thema Abbildungen angeht, hin. Diese Defizite sollten aufgeholt werden, bevor Du Dich mit Injektivität oder Surjektivität beschäftigst.
kittyy hat folgendes geschrieben:
ich hätte jetzt sonst einfach alle möglichkeiten miteinander kombiniert.
also aus jedem block oben einen rausgenommen und die möglichkeiten kombiniert.
und da gäbe es dann ja 8*7*6, hätte ich gedacht. ich hätte also auf 336 injektive abbildungen getippt.
Trotz allem, was auf Defizite hinweist, ist diese Schlußfolgerung korrekt.
*Ta*tz
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Anmeldungsdatum: 05.11.2006
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2006 - 14:08:21    Titel:

Alsoooo.... (irgendwie kommen mir die Aufgaben bekannt vor - wie kommt das nur? *g*)

Bei der ersten Aufgabe habe ich dasselbe raus wie du.
Nämlich, dass es 8*7*6 = 336 Möglichkeiten gibt.
Einmal aufgrund der Überlegungen, die du auch hattest, außerdem haben wir dafür auch eine Formel im Skript (habe ich danach gesehen).
(Seite 55: Wenn die Menge K (ähm A in deinem Fall) 3 Elemente hat und die Menge P(A) 8 Elemente hat, gilt:
|Menge A| = k = 3 und |Menge P(A)| = n = 8
Die Formel heißt: n*(n-1)*(n-2)*...*(n-(k-1))
(n-(k-1)) ist hier (n-(3-1)) = (n-2),
also ist die Anzahl der injektiven Abbildungen n*(n-1)*(n-2) = 8*7*6 = 336)

Müsste so doch stimmen, oder? Was ich mich da fragte, ist, ob man ein Element auf die leere Menge abbilden kann?


Bei der zweiten Aufgabe bin ich auch unsicher, wie das gehen soll und verwirrt durch deine Erklärung @Hiob.

Ich hatte mir das nämlich so ähnlich gedacht wie kittyy:

Man kann für k doch einfach 2 wählen, oder nicht?
Wenn k=2, hätte man bei der Abbildung von (k,R) ja nur die Möglichkeiten (1,R) und (2,R) und bei R^k gäbe es ja nur die Möglichkeit, (x,y) abzubilden.
Wenn man nun für F:R^k --> Abb(k,R) sagt, dass gelten soll:

f(x,y)=(1,y), wären dann nicht alle Voraussetzungen gegeben?
Für x und y kann man alle Zahlen aus R einsetzen und die 1 wäre ja ein Element aus k.
Egal welche Zahl man für x einsetzt, man erhält immer 1 und bei y wäre das doch vergleichbar mit der identischen Abbildung, dachte ich.
Und die identische Abbildung ist doch bijektiv.
Wäre das auch möglich oder ist da jetzt ein gedanklicher Fehler drin?

Ich würde mich auch über eine Antwort freuen! Smile
kittyy
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Anmeldungsdatum: 23.10.2006
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2006 - 17:27:58    Titel:

hey, jetzt hab ich das auch verstanden mit den injektiven abbildungen!

und auf die frage von tatz hätte ich auch sehr gerne eine antwort, weil ich das so eben auc dachte nur eben mit 2.
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