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Beweis über Teilmengen
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J.Caesar
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Anmeldungsdatum: 27.10.2005
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2006 - 22:36:58    Titel: Beweis über Teilmengen

Hallo,

ich habe folgenden Beweis zu führen
Es sei U eine offene Menge im R^n, die ein Gebiet ist. Man zeige, dass man dann U nicht in zwei nichtleere, offene, disjunkte Teilmengen zerlegen kann.

Also, die Definition von gebiet sagt ja, dass es zu je zwei Punkten x,y in U einen stetigen Weg A:[0,1] -> G mit A(0)= x und (1)=y gibt.

Ich habe irgendwie probiert anzunehmen, das es keinen stetigen Weg zwischen zwei Punkten gibt, dass heißt also beweis durch widerspruch.
jedoch hat das alles nicht geklappt.
Hat jemand eine andere idee? oder funktioniert es doch mit einem Widerspruchsbeweis?

Hoffe mir kann jemand helfen!

MFG

Caesar
Hiob
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2006 - 01:02:20    Titel: Re: Beweis über Teilmengen

J.Caesar hat folgendes geschrieben:
Also, die Definition von gebiet sagt ja, dass es zu je zwei Punkten x,y in U einen stetigen Weg A:[0,1] -> G mit A(0)= x und (1)=y gibt.
Erstmal find ich cool, daß Du das geschrieben hast. ich war grad mit dem ersten Absatz fertig und hab mich gefragt, was wohl ein Gebiet ist und prompt kommt die Erklärung.
1. Dickes Lob und
2. kleine Korrektur:
U ist ein Gebiet genau dann, wenn es zu je zwei x,y∈U einen stetigen Weg A:[0,1]->U gibt mit A(0)=x und A(1)=y.

J.Caesar hat folgendes geschrieben:
Ich habe irgendwie probiert anzunehmen, das es keinen stetigen Weg zwischen zwei Punkten gibt, dass heißt also beweis durch widerspruch.
jedoch hat das alles nicht geklappt.
Hat jemand eine andere idee? oder funktioniert es doch mit einem Widerspruchsbeweis?
Jupp, Widerspruch müßte auch gehen. Fällt mir aber grad nicht ein.
Seien V, W nichtleere, disjunkte Teilmengen von U mit V⋃W=U.
Für alle v∈V, w∈W gibt es einen stetigen Weg A zwischen v=A(0) und w=A(1) mit A([0,1])⊂U. Seien v, w und A so gewählt, daß A V nur einmal "verläßt" und W nur einmal "betritt".
Annahme: V ist offen. Setze T=sup{ t∈[0,1] | A(t)∈V }. Da V offen ist, gilt T∉{ t∈[0,1] | A(t)∈V }. Wegen A(T)∈U und V⋃W=U gilt A(T)∈W. Da jede offene Umgebung um A(T) sowohl A(T)∈W als auch Elemente von V enthält ist W nicht offen.
Analog folgt für die Annahme, daß W analog sei, daß V nicht offen ist.
Also können V und W nicht gleichzeitig offen sein.

Achja, Widerspruch. Dafür nimmt man an, daß V und W offen sind. Man definiert sich T wie in der ersten Annahme. Da jede Umgebung von A(T) Elemente aus V enthält und W offen ist, also für jedes seiner Elemente w∈W offene, vollständig in W enthaltene Umgebungen um w enthält, gilt A(T)∉W.
A(T)∉V und A(T)∉W bilden einen Widerspruch zu A(T)∈A([0,1])⊂U und V⋃W=U.
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