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LGS lösbar, invertierbare Matrix
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mathehelli
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Anmeldungsdatum: 06.11.2006
Beiträge: 77

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2006 - 00:10:56    Titel: LGS lösbar, invertierbare Matrix

Ich hab hier noch eine Aufgabe die ich unbedingt lösen muss. Kann mir da vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?

Sei A Element Kmxn. Zeigen Sie: Genau dann ist das lineare Gleichungssystem Ax=b für jedes b Element Kmx1 lösbar, wenn es eine MAtrix A´ Element Knxm gibt mit AA´´= Em, wobei Em die mxm- Einheitsmatrix ist.
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2006 - 02:02:36    Titel:

Rückrichtung:
Wenn es ein A' gibt mit A*A'=Em, dann gilt für alle b∈K^(mxn): b=Em*b=A*A'*b. Setze x=A'*b. x ist Lösung von A*x=b. Also ist A*x=b lösbar. Da b beliebig aus K^(mxn) gewählt wurde, ist Ax=b für alle b∈K^(mxn) lösbar.
Hinrichtung:
Wenn A*x=b für alle b∈K^(mxn) lösbar ist, gibt es für alle i∈{1,..,m} eine Lösung x_i von A*x=e_i. Setze A' gleich der Matrix, die durch Hintereinanderschreiben der Spaltenvektoren x_i entsteht. Dann gilt A*A'=A*(x_1,x_2,..,x_m)=(e_1,e_2,..,e_m)=Em. Es gibt also ein A' wie gefordert.
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