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Monotonie einer Folge bestimmen
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Fabs87
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Anmeldungsdatum: 09.10.2006
Beiträge: 208

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2006 - 20:57:18    Titel: Monotonie einer Folge bestimmen

Hi Leute.

Wie kann ich von der Folge

an = (n²-1)/(n^4+2n²+2) n€|N

die Monotonie bestimmen.
Die Folge steigt nämlih zuerst, dann sinkt sie wieder ab und konvergiert gegen 0.
Bitte um Hilfe oder Tipps.

lg,
Fabs
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Anmeldungsdatum: 05.08.2006
Beiträge: 2792
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2006 - 21:01:32    Titel:

Hallo!

Und ich hätte gedacht, die konvergiert gegen 1/2... So kann man sich täuschen.

Gruß
Marco

PS: Vielleicht hilft es was, wenn Du Dir a(n+1) / a(n) anschaust. So lange das größer als 1 ist, steigt die Folge an, wenn es kleiner wird, fällt sie.

//Edit: Sorry, ich hatte die "hoch-4" im Nenner nicht gesehen. Dann geht sie natürlich gegen 0...
Fabs87
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Anmeldungsdatum: 09.10.2006
Beiträge: 208

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2006 - 22:03:31    Titel:

hmmm bei mir funktinoert das mit an+1/an nicht....
Gibst sonst noch einen Weg?

lg,Fabs
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Anmeldungsdatum: 05.08.2006
Beiträge: 2792
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2006 - 12:48:45    Titel:

Hallo!

Das Maximum der Folge liegt ja bei 2. Ich weiß nicht, ob man das so machen kann, aber wenn Du das ganze als stetige Funktion betrachtest und zeigst, dass die Ableitung ab n>=2 immer negativ ist, ist dann nicht auch die Monotonie der Folge gezeigt?
Wenn man dabei zeigt: Der Nenner ist immer positiv, weil er ja quadriert wird und der Zähler ist ab 2 sicher immer negativ, dann sollte das doch eigentlich auch für die Folge ausreichend sein, oder?

Keine Ahnung, wie man das besser/einfacher/richtiger machen kann.

Gruß
Marco
trinkMilch
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2006 - 13:03:36    Titel:

Hi,

vielleicht verstehe ich ja was falsch.

Aber ich sehe dass so,
du hast ja hier keine rekursive folge oder so, also:

an = (n²-1)/(n^4+2n²+2)

sieht fuer mich so daus, dass a nun eine ganz normale funktion der variablen n ist.

a(n) = (n²-1)/(n^4+2n²+2)

und um nun zu zeigen, dass die Funktion/Folge gegen 0 konvergiert bildet
man am besten den Grenzwert.

Für n = -+unendlich folgt direkt: limes a(n) = 0
"Beweis durch hingucken!" ^^

(Nennerpolynomgrad ist gerade und grösser als Zählerpolynomgrad, somit ist Nennerpolynom immer positiv und geht viel schneller gegen unendlich als der Zähler. Der Zähler ist natuerlich auch immer positiv
ab |n| > 1. )

=> daraus folgt auch direkt dass sie monoton faellt fuer x gegen unendlich...
keine def.lücken etc...

cu..
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Anmeldungsdatum: 05.08.2006
Beiträge: 2792
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2006 - 03:05:40    Titel:

trinkMilch hat folgendes geschrieben:
=> daraus folgt auch direkt dass sie monoton faellt fuer x gegen unendlich...
keine def.lücken etc...


Folgt das daraus wirklich direkt? Irgendwann ab einem bestimmten n wahrscheinlich schon, aber so direkt weiß man dann doch noch nicht, dass sie nicht doch nochmal steigen und dann wieder fallen könnte oder so. Kann ja sein, dass bei 100 nochmal ein Maximum ist, keine Ahnung...
Der Grenzwert war denke ich so wie so klar. Es ging hauptsächlich um die Monotonie, denke ich.

Gruß
Marco
trinkMilch
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2006 - 12:20:55    Titel:

hmmm bei der monotonie würde ich mal den limes der ableitung bilden...

a(n) = (n²-1)/(n^4+2n²+2)

d/dn a(n) = - 2n(n^4 - 2n^2 - 4)/(n^4 + 2n^2 + 2)^2

da der limes von a(n) für n gegen +unendlich ja gegn null geht VON OBEN
(also immer im positiven bereich), muss der limes von a'(n) halt auch gegen null gehen, aber VON UNTEN (also a(n) muss negative steigung haben)

dies ist ja auch fuer n gegen +unendlich der Fall...

Analog fuer n gegen -unendlich, hier muss der limes der ableitung halt gegen 0 VON OBEN (positive Steigung gehen)...

Natuerlich stimmt das so erst ab einem gewissen betrag von n (Achsensymetrisch).
Diesen Betrag kann man doch dann mit den Wendepunkten (2.te Ableitung) berechnen.

cu...
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