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Komplexe Zahlen - reelle Zahlen
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marc1987
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Anmeldungsdatum: 09.11.2006
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2006 - 01:46:59    Titel: Komplexe Zahlen - reelle Zahlen

Guten Abend!

Folgende Übungsaufgabe macht mir derzeit zu schaffen - ich komme einfach nicht damit zurecht...

Für welche komplexe Zahlen z ist der Ausdruck "[(7+z)/(7-z)]^2" reel?

Hat jemand vllt einen Lösungsnsatz oder Tipp für mich, wie ich vorgehen muss?

MfG Marc
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2006 - 09:34:33    Titel:

Für welche komplexe Zahlen z ist der Ausdruck "[(7+z)/(7-z)]^2" reell?

Probiers mal so:
zuerst den Bruch .. (7+z)/(7-z) .. erweitern mit dem konjugiert Komplexen des Nenners,
dann hast du nachher im Nenner eine reelleZahl (Betragsquadrat) stehen und brauchst im
Hinblick auf die Fragestellung im Prinzip nur noch den neuen Zähler untersuchen.

Ich schreibe mal
z=x+iy ... und für die konjugiert komplexe Zahl ... z# = x – iy

Also sieht der Zähler nach dem Erweitern so aus:
(7+z)*(7-z)# = (7+z)*(7-z#) = 49 +7z – 7z# - zz# = 49-(x^2+y^2) + 14iy

damit das einigermassen übersichtlich bleibt, schreibe ich für den Realteil eine Abkürzung:
a = 49-(x^2+y^2)
Und jetzt noch das Quadrat des Zählers, also ( a + 14iy)^2 = a^2 +28iya – 196y^2

damit nun alles reell ist, muss der Zähler reell sein, dh die Vorzahl vom i muss Null sein:
y*a= 0 ...=>. y=0 oder a=0, dh .... 49-(x^2+y^2) = 0 ... oder ... x^2+y^2 = 49

Wenn ich mich also nicht verrechnet habe, liegen die komplexen Zahlen, die deine Aufgabe erfüllen
entweder auf der reellen Achse y=0 ...(wen wunderts?..)...
oder auf dem Kreis um den Ursprung mit Radius 7
beides ohne z=7
Rechne also bitte erst mal selbst alles nach...
Smile
marc1987
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Anmeldungsdatum: 09.11.2006
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 23:11:46    Titel:

Danke dir, das hat mir sehr geholfen Very Happy
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