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Erzeuger eines Ideals
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ich_mäuschen
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Anmeldungsdatum: 01.11.2006
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2006 - 17:27:03    Titel: Erzeuger eines Ideals

Wie bestimme ich den Erzeuger folgenden Ideals:

<2-i,2+i> c Z[i] ???

Bitte helft mir!

Bin für jeden Tipp dankbar!


Kann ich vielleicht den ggT berechnen? Ist das dann der Erzeuger? Der wäre i oder?

ich_mäuschen
ich_mäuschen
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Anmeldungsdatum: 01.11.2006
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2006 - 10:58:34    Titel:

Kann mir denn echt KEINER helfen???
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2006 - 12:01:38    Titel:

Hallo!

Du hast Recht: Das Ideal, welches diese beiden Elemente enthält, enthält offenbar alle Vielfachen des ggTs der beiden. Anders herum: Jedes Element in dem Ideal muss ja ene ganzzahlige Linearkombination deiner beiden Elemente sein, also insbesondere durch den ggT teilbar sein.

Also ist der ggT der beiden Elemente ein Erzeuger deines Ideals. Smile


Viele Grüße, Cyrix
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2006 - 14:55:39    Titel:

Ist Z[i] ein Hauptidealbereich, @cyrix, oder ist das nur zufällig hier?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2006 - 15:02:20    Titel:

Naja, was heißt zufällig. Z[i] ist halt ein euklidischer Ring, wie man sich leicht überlegt. Damit folgt doch, die Behauptung.

Viele Grüße, Cyrix
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2006 - 15:06:24    Titel:

Und jeder euklidischer Ring ist ein Hauptidealring. Das wollte ich wissen. Euklidisch alleine ist ja noch die halbe Miete Smile Danke.
ich_mäuschen
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Anmeldungsdatum: 01.11.2006
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 14:04:30    Titel:

Danke schön für eure Antworten!

Warum gilt das mit dem ggT nur in Hauptidealringen???
Weil nur deren Ideale von einem Element erzeugt werden?
Heißt das, ich muss noch zeigen, dass der ggT auch ein Ideal erzeugt?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 14:08:06    Titel:

Hallo!

In Euklidischen Ringen (die sind hier gerade wichtig), funktioniert der Euklidische Algorithmus. Das ist aber nicht immer klar. Du musst also eigentlich noch zeigen, dass Division mit Rest uneingeschränkt ausführbar ist, also es für jedes a und b ein q und ein r aus dem Ring gibt, sodass a=q*b+r ist, wobei N(r)<N(b) ist, wobei N die Norm innerhalb des Rings ist.


Viele Grüße, Cyrix
ich_mäuschen
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Anmeldungsdatum: 01.11.2006
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 14:38:14    Titel:

ja, so eine Aufgabe ist auch auf meinem Übungsblatt drauf.
Mit Z[i] geht das ja auch noch... aber zum Beispiel bei Z[Wurzel3] kann ich das gar nicht. Ich kann kein Verfahren angeben, mit dem ich die Division mit Rest durchführen kann.
Hast du einen Tipp für mich?
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