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Teilmengen
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CasinoJoe
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Anmeldungsdatum: 28.10.2006
Beiträge: 43

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2006 - 18:30:17    Titel: Teilmengen

Hallo,
Ich habe eine Aufgabe,komme damit aber nicht so richtig zu recht! Kann mir jemande helfen? Wäre toll!

Aufgabe: Wieviele Teilmengen,inklusive der leeren Menge, hat eine Menge mit n Elementen? (mit Beweis)

Meine Überlegung bisher:

Da die leere Menge ( |leere Menge| = 0 ) auch Teilmenge der Menge (ich ist benenne sie jetzt einfach mal in M) müsste M doch folgendermaßen aussehen: {0,1,2,..,n)
Stimmt das soweit?

Ich hab anhand eines einfachen beispiels folgendes versucht:

Bei einer Menge A (1,2) gibt es die Teilmengen (1),(2) ; bei einer Menge B (1,2,3) gibt es die Teilmengen (1),(2),(3),(1,2),(1,3),(2,3)
Die leere Menge habe ich außenvor gelassen.
Ist das richtig?

Ich habe das noch weitergemacht bis zur Menge E(1,2,3,4,5) und versucht daraus einen Anhaltspunkt für eine Formelherleitung zu bekommen. Ist mir aber nicht gelungen!

Kann mir bei der Lösung dieser Aufgabe jemand Hilfestellung geben?
Leroy42a
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Anmeldungsdatum: 20.02.2006
Beiträge: 642
Wohnort: Duisburg

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2006 - 18:38:23    Titel:

Bis dahin stimmts (leere Menge nicht ausklammern).

Geh doch mal rekursiv ran:

Hat die Menge n Elemente, dann hat die Potenzmenge
(Menge aller Teilmengen) p(n) Elemente.

Wieviele Elemente hat die Potenzmenge wenn die
Ursprungsmenge jetzt um ein Element erweiter wird.

Alle Teilmengen enthalten entweder das neue Element
oder nicht. Das heißt: alle bisherigen Teilmengen sind
auch Teilmengen der erweiterten Menge.

Jetzt kannst du jede bisherige Teilmenge nehmen und
denen das neue Element hinzufügen. Das bedeutet
das es genau doppelt soviel Teilmengen der um ein
Element erweiterten Menge M gibt, wie es Teilmengen
der Menge M gab. Damit hast du:

p(M+1) = 2*p(M)

p(0) = 1 (Die leere Teilmenge)
p(1) = 2*1 = 2
p(2) = 2*2 = 4
...
Tetra
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Anmeldungsdatum: 07.11.2006
Beiträge: 950

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2006 - 18:40:40    Titel:

Du hast n Elemente in der Menge. M={m1,...,mn}

Dann kannst du als Teilmenge immer Mengen nehmen die max. n Elemnte haben.

Bsp:
n=5

Da hast du, Teilmengen mit 0,1,2,3,4,5 Elementen.

Mit 0 Elmenten ist die leere Menge. Bei einem hast du 5 Teilemengen, bei 2 Elemnten kannst du (5 über 2) Teilmengne bilden (also 10, da {1,2}={2,1}) bei 3 (3ü5) usw.

Diw musst du alle aufaddieren.

(0ü5)+(1ü5)+(2ü5)+(3ü5)+(4ü5)+(5ü5)

macht also insgesammt: Summe von (i=0 bis n) von (iü5) (ist noch zz, sollte aber per Induktion gehen oder so)
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2006 - 21:12:36    Titel:

Such mal hier nach (meinen von mir aus) Beiträgen zum Thmea: Kardinalität von Potenzmengen. Du wirst sehr schnell einen vollständigen Beweis sehen.
CasinoJoe
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Anmeldungsdatum: 28.10.2006
Beiträge: 43

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2006 - 00:21:51    Titel:

Wie wird das eigentlich berechnet?
(0ü5) + (1ü5)+(2ü5)+(3ü5) + (4ü5)+(5ü5)

das ist ja nicht das gleiche wie (0*5)+(1*5)+...
Wie macht man das eigentlich?
Leroy42a
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Anmeldungsdatum: 20.02.2006
Beiträge: 642
Wohnort: Duisburg

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2006 - 17:11:33    Titel:

(n über k) = n! / (k! * (n-k)!)
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