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Beweis: Komposition injektiver Funktionen ist injektiv
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meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2006 - 18:36:12    Titel: Beweis: Komposition injektiver Funktionen ist injektiv

Das dies gilt ist mir klar, Probleme hab ich aber mit dem Beweisen. Genauer: Ich bin mir nie sicher ob meine Beweise zulässig sind, oder nicht Evil or Very Mad
Könntet ihr mir deswegen sagen, ob mein folgender Lösungsvorschlag als Beweis durchgehen könnte?

Aufgabe:
3 beliebige Mengen A,B,C. g: A -> B, f: B -> C.
Sind f und g injektiv, so ist auch fog injektiv.

Beweis:

(Diese Verweise z.B. "nach 3.7a)" verweisen auf die Vorlesungsaufschriebe, was man hier verwenden darf - sollte euch ja auch klar sein, dass dies jeweils gilt)

/edit:
Ich überlege gerade, ob ich zur vorletzten Zeile folgendes noch hinten dranhängen sollte, damit damit die letzte Zeile (fog ist injektiv) definiert ist:
=> a_1 = a_2
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2006 - 20:27:46    Titel:

mir würde ein einfaches "ja, passt so" schon reichen (sofern es auch zutrifft) Laughing

falls ihr euch aber unsicher seid, ob das so in ordnung ist (mit dem edit!), und ihr einen anderen glasklaren beweis im kopf habt, wäre es auch sehr hilfreich, wenn ihr mir den sagen würdet. Aber dann bitte nur Tipps, wie ich dabei vorgehen sollte, also nicht gleich den fertigen beweis hinschreiben. Würde es gerne selber machen Cool
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2006 - 12:18:59    Titel:

Hallo !

Ja, passt schon, man sieht dass Du es verstanden hast.

f(g(a1))=f(g(a2)) => g(a1)=g(a2) => a1=a2

Also das, was Du noch dran hängen wolltest (siehe EDIT: a_1 = a_2),
mach das noch.
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2006 - 15:38:30    Titel:

ok wunderbar, dankeschön Very Happy

Dann hab ich aber noch die gleiche Frage zur gleichen Aufgabe, diesmal eben nur mit Surjektivität.

Beweis:
f ist surjektiv:
(*1)
Da auch g surjektiv:

... kann man das für alle b in (*1) einsetzen. Daraus folgt:

fog ist surjektiv.
--------
meint ihr, dass das so ok ist, oder sollte ich den letzten Schritt ausführlicher machen? Vll dass ich das Einsetzen irgendwie in die formale Schreibweise bringe. Ich stelle mir das in etwa so vor:


--------------
--------------
Und dann noch eine Frage: anschließend soll ich dasselbe auch noch für Bijektion beweisen. In dem Fall reicht es ja einfach auf die zwei eben gemachten Aufgaben zu verweisen, womit somit dasselbe auch für Bijektion gilt. Aber rein aus Interesse: kann ich das auch auf einem ganz anderen Weg beweisen? Nämlich mit der Anzahl der Elemente der Menge einer Bijektion. Wir haben in der Vorlesung für endliche Mengen definiert:
|M| = m <=> es ex. Bijektion f:{1,2,...,m) -> M

Blöderweise ist aber unsere Aufgabe für beliebige Mengen. Für unendliche Mengen haben wir nur definiert:
M heißt abzählbar, wenn es Bijektion f: IN -> M gibt.

Gibt es also einen andern Weg, als jeweils Injektivität und Surjektivität einzeln zu beweisen? (Also natürlich auf mein Wissen beschränkt)
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2006 - 16:03:43    Titel:

sorry für den doppelpost. jetzt werden die bilder angezeigt.
kann man grafiken von dieser seite: http://www.mathdraw.de/ hier nicht einfügen? wenn doch, wie?
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