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Integralrechnung für Reihenentwicklung sin^n(x)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Integralrechnung für Reihenentwicklung sin^n(x)
 
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Siewolf
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Anmeldungsdatum: 10.11.2006
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2006 - 20:13:51    Titel: Integralrechnung für Reihenentwicklung sin^n(x)

ich war zwar Mathe Lehrer mir fällt aber nicht die Lösung für
das Integral von 0 bis phi vom sin(x) hoch n ein.
n muss in einer Variblen auch als Gleitkommazahl benutzbar sein.
Hat jemand eine Idee? Vielen Dank!
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2006 - 21:14:37    Titel:

Hallo !

Wenn phi beliebig ist, bleibt nicht viel mehr übrig als partiell
zu integrieren, also Int(u'v) = uv - Int(uv') .

Speziell, wenn phi := PI/2, dann gibt es folgende Formel:

Seien a,b, aus IR .
Int(0 bis PI/2)(sin(x)^(2a-1)*cos(x)^(2b-1)) = (1/2)Gamma(a)Gamma(b)/Gamma(a+b)
mit Gamma(x) ist die Gamma-Funktion.


ODER geht es um eine Reihenentwicklung für sin(x)^n ?
Siewolf
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Anmeldungsdatum: 10.11.2006
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2006 - 21:26:41    Titel:

oder ist zutreffend sin(x)^n
wobei x von 0 bis pi(phi) immer vorgegeben ist also die Fläche unter
einer Sinuskurve von 0 bis PI mit der besonderheit das ich die Ergebnisse
für jedes beliebige n (ab 0,0 bis etwa 20,0) benötige
schon mal Dank für die Antwort
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2006 - 21:54:02    Titel:

Wegen sin(x) = sin(PI-x) gilt:
Int(0 bis PI)(sin(x)^n) = 2*Int(0 bis PI/2)(sin(x)^n)

Mit
Int(0 bis PI/2)(sin(x)^(2a-1)*cos(x)^(2b-1)) = (1/2)Gamma(a)Gamma(b)/Gamma(a+b)
erhalten wir für n:=2a-1 und b=1/2 als Ergebnis
Int(0 bis PI)(sin(x)^n) = Gamma((n+1)/2)Gamma(1/2)/Gamma(n/2+1)
wobei Gamma(1/2) = PI^0,5 ist.
Siewolf
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Anmeldungsdatum: 10.11.2006
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2006 - 23:05:49    Titel:

Vielen Dank erstmal für die bisherigen Überlegungen!
Die Gamma Funktion macht mich leider nicht glücklich, denn ich
müsste sie in visual-basic annähern und ich habe bereits Funktionen
die bis auf drei Stellen genau meine vorhandenen Ergebniswerte für
ganzzahlige n treffen.
Geht nicht sowas wie die Kombination von Integralen wie
sin(x): Integral gleich -cos(x)
und a^(x): Integral gleich (a^x)/ ln a
Bitte nicht den Kopf zu sehr bemühen ich bin schon 2 Jahre dabei.
gruss
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2006 - 23:34:04    Titel:

Nein, Gamma IST die exakte Lösung.
Bitte bedenken, dass numerisch betrachtet sin(x) oder a^x auch nicht
"exakt" sind.

Zur Berechnung der Gammafunktionswerte benutzt man normalerweise die Laguerre-Polynome.

Da wir nun aber nicht einfach Gamma haben, sondern den Ausdruck
Gamma(a)Gamma(b)/Gamma(a+b), könnte man es ja wesentlich einfacher mit der Produktdarstellung versuchen:

Gamma(x) = lim(m->unendlich)(m^x/(x*Produkt(k=1 bis m)(1+x/k)))
=>
Gamma(a)Gamma(b)/Gamma(a+b) = (1/a+1/b)*Produkt(k=1 bis unendlich)((1+(a+b)/k)/((1+a/k)(1+b/k)))

Nun a:=(n+1)/2 und b:=1/2 setzen, fertig.

Ich weiß zwar nicht, wie gut oder schlecht die Konvergenz ist,
aber das kann man ja per Programm leicht feststellen.

Für ganze Zahlen n>= 0 kann man noch ergänzen, dass aus
der obigen Formel Gamma(a)Gamma(b)/Gamma(a+b)
mit a:=(n+1)/2 und b:=1/2 folgt:

Sei m aus der Menge der natürlichen Zahlen einschließlich {0}.

n:=2m : Gamma((n+1)/2)Gamma(1/2)/Gamma(n/2+1) = (PI*(2m)!)/(m!²*2^(2m))

n:=2m+1 : Gamma((n+1)/2)Gamma(1/2)/Gamma(n/2+1) = (m!²*2^(2m+1))/(2m+1)!

TIP:
Um sich viel Rechnerei zu ersparen, sollte man rekursiv rechnen,
von n->n+1 oder von n->n+2 mit 2m auf 2m+2 und 2m+1 auf 2m+3.

Definitionen:
n:=2m : f(m) := (PI*(2m)!)/(m!²*2^(2m)) , f(0)=PI .
n:= 2m+1 : g(m) := (m!²*2^(2m+1))/(2m+1)! , g(0)=2 .

Induktion von n->n+1 mit f(m)<=>g(m)<=>f(m+1)<=>g(m+1) :
f(m)*g(m) = 2*PI/(2m+1) bzw. f(m+1)*g(m+1) = 2*PI/(2m+3)
und f(m+1)*g(m) = PI/(m+1) für alle m.

Induktion von n->n+2 mit f(m)<=>f(m+1) und g(m)<=>g(m+1) :
f(m)/f(m+1) = (2*PI/(2m+1))/(PI/(m+1)) = 1+1/(2m+1),
also f(m+1) = f(m)/(1+1/(2m+1)) .
g(m+1)/g(m) = (2*PI/(2m+3))/(PI/(m+1)) = 1-1/(2m+3),
also g(m+1) = g(m)*(1-1/(2m+3))

Also:
f(0)=PI , f(1)=f(0)/2 , f(2)=3f(1)/4 , f(3)=5f(2)/6 , ...
g(0)=2 , g(1)=2g(0)/3 , g(2)=4g(1)/5 , g(3)=6g(2)/7 , ...
Siewolf
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Anmeldungsdatum: 10.11.2006
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2006 - 18:54:05    Titel:

Bis auf weiteres herzlichen Dank!
Ich werd es jetzt mit obigen Angaben versuchen(ein Programm zu schreiben) Da das dauern kann, melde ich mich erst nach erfolg.
Nochmals Dank!
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