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Unterräume
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jimmy_01
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Anmeldungsdatum: 29.10.2006
Beiträge: 1
Wohnort: Marburg

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2006 - 00:24:17    Titel: Unterräume

Hallo Freunde der Mathematik!
ich sitzt vor einer eigentlich einfachen Aufgabe aber komme einfach nicht weiter:
Ist die Menge ein Untervektorraum von Abb (R,R) bzw. R^2

M:= {f: R-->R | f(x) = f(-x) für alle x e R}

mir ist klar, dass ich die Kriterien für einen UVR überprüfen muss. Mein Problem ist die Umsetzung.

1) U ungleich leere Menge, stimmt, da der Nullvektor e M ist
2) für alle v,w e U gilt v+w e U
λ*v e K , λ e K

meine Überlegung bestand darin, f(x)=v und f(-x)=w und dann der Nachweis, dass v+w = 0, da 0 e M
geht das?


2. Aufgabe: M:= {(x,y) e R| 2x + 3y=0 }
1) U ungleich leere Menge, da (0,0) e M
2) Die Gleichung ist erfüllt für x=y=0 und für z.B. x=1 , y=-2/3... aber wie gehts weiter, oder muss ich anders argumentieren?

Ich weiß, dass sind einfache Fragen, aber dennoch habe ich probleme bei der Lösung. Bitte helft mir, ich möchte verstehen, wie ich die Theorie auf die Praxis anwenden kann.

na denn ma Danke im vorraus!
Gruß Jimmy
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2006 - 10:19:02    Titel:

Zu 1.
1) Das Nullelement ist hier natürlich nicht der Nullvektor, sondern die Nullabbildung, also Abbildung f mit f(x)=0 für alle x. Dass sie in der Menge ist, sieht man sofort.
2a) Schnapp Dir zwei Abbildungen f und g aus M. Sei x aus R. Dann gilt:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=(f+g)(-x).
2b) Sei f aus M und k aus K. Weiter sei x aus R. Dann gilt:
(k*f)(x)=k*f(x)=k*f(-x)=(k*f)(-x).

Zu 2.
1) Richtig.
2a) Seien v=(v1,v2), w=(w1,w2) aus M. Dann gelten 2v1+3v2=0 und 2w1+3w2=0. Weiter gilt:
v+w=(v1+w1,v2+w2). Um zu prüfen, ob v+w in M ist, muss gelten: 2(v1+w1)+3(v2+w2)=0. Ausmultiplizieren, Gleichungen von oben einsetzen, fertig.
2b) Seien v=(v1,v2) aus M und k aus K. Es gilt wieder 2v1+3v2=0. Weiterhin:
k*v=(k*v1,k*v2). Damit k*v in M liegt, muss gelten: 2(k*v1)+3(k*v2)=0. k ausklammern etc.
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