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Extremwertproblem
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hunter_sephiroth
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Anmeldungsdatum: 27.05.2006
Beiträge: 288

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 16:44:33    Titel: Extremwertproblem

hoi
hab folgende aufgabe und komme i-wie zu keinem anfang

also
Aus einem Baumstamm mit kreisförmigem Querschnitt und Durchmesser d wird ein Balken mit rechteckigem Querschnitt geschnitten. Die Tragfähigkeit des Balkens ist proportional zum Produkt aus der Länge g der Grundlinie g und dem Quadrat aus der Höhe h: T = c * gh².
Die Tragfähigkeit soll maximal sein.

Also wenn ich das richtig verstehe steigt die Tragfähgkeit wenn g oder h größer wird bzw. daher dann das produkt der beiden größer wird richtig?

die Zielfunktion ist ja T = c * gh² maximal

nur eine wirkliche Nebenbedingung finde ich nicht
und was ist das c in der gleichung?

bitte helft mir
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 16:57:02    Titel:

kennst du vielleicht noch die Flaeche des Querschnitts?

Gruss:


Matthias
hunter_sephiroth
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Anmeldungsdatum: 27.05.2006
Beiträge: 288

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 16:58:18    Titel:

nein!
hunter_sephiroth
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Anmeldungsdatum: 27.05.2006
Beiträge: 288

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 17:16:55    Titel:

bitte helft mir doch
hunter_sephiroth
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Anmeldungsdatum: 27.05.2006
Beiträge: 288

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 17:59:09    Titel:

hat niemand ne idee?
helft mir doch bitte
schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1229
Wohnort: Düsseldorf

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 19:27:08    Titel:

Wozu die Fläche des Querschnitts?

Um das Problem zu lösen empfiehlt es sich nur den ersten Quadranten des Querschnitts also einen Viertelkreis mit dem Radius auf den Achsen zu betrachten. Es genügt das Rechteck mit der maximalen Tragfähigkeit in diesem Viertelkreis zu finden, dann hat man auch g und h berechnet.
Man arbeitet am Besten mit der Kreisgleichung r²=x²+y² wobei x=d/2-a=g/2 und y=h/2=sqrt((d/2)²-x²),

daher lautet die Zielfunktion T(a)=c*2*(d/2-a)*4*((d/2)²-(d/2-a)²)=c*(8a³-12da²+4d²a)

T´(a)=c*(24a²-24da+4d²) |:24c

--> =a²-da+d²/6 --> a=d/2+-d/sqrt(12)
hunter_sephiroth
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Anmeldungsdatum: 27.05.2006
Beiträge: 288

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 20:50:16    Titel:

also diesen ansatz verstehe ich überhaupt nich sry
bin einfach zu doof^^
schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1229
Wohnort: Düsseldorf

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 21:05:57    Titel:

Mal dir einen Kreis, der ist der Querschnitt des Stammes, dann unterteilst du diesen Kreis in vier gleichgroße Teile, dass heisst du malst ein Koordinatensystem hinein mit dem Mittelpunkt als Nullpunkt, dann enstehen vier Viertelkreise, und nur den rechts oben betrachten wir, das meine ich mit 1. Quadranten. Wir suchen jetzt das Rechteck in diesem Viertelkreis rechts oben, für das die Tragfähigkeit maximal ist. Das machen wir mit der Kreisgleichung r²=x²+y², wobei x=2*(d/2-a) und y=2*sqrt(r²-x²) und r=(d/2)². Denn wir haben ja nur den Durchmesser des Stammes den wir verwerten können, nämlich d, und d/2 ist der Radius des Querschnitts des Stammes. Da wir nur den Viertelkreis rechts oben betrachten kann man, muss man aber nicht, x und y mit 2 multiplizieren, wenn man das nicht vor der Berchnung tut, kann man es auch nachher tun. Wenn noch Fragen sind kannst du mich fragen.
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