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hebbare Unstetigkeitsstellen & Polstellen!? *HELP*
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> hebbare Unstetigkeitsstellen & Polstellen!? *HELP*
 
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Anmeldungsdatum: 12.11.2006
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 19:37:45    Titel: hebbare Unstetigkeitsstellen & Polstellen!? *HELP*

Hi.. ich hab ein Problem!

Ich hab zwar schon viele Foren durchgestöbert, aber entweder wurde es kompliziert erklärt oder die Erklärungen haben sich interessanterweise widersprochen.
Wie auch immer, es geht bei der Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen um die Definitionslücken & Stetigkeit einer Funktion f(x).

Angenommen ich habe eine Funktion und soll die hebbaren Unstetigkeitsstellen bzw. Polstellen finden. Nachdem ich den Nenner = 0 gesetzt und einen Wert für mein "x" ermittelt hab, weiß ich net mehr weiter.

1) Wie grenze ich Polstellen von hebbaren Unstetigkeitsstellen ab?
2) Und inwiefern kann mir das Grenzverhalten der Funktion nahe der
Definitionslücke bzw. das Bilden von Linearfaktoren dabei helfen?

Vielen Dank für eure Hilfe..!

gruß
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 20:45:18    Titel:

Hallo!

Bei Polstellen läuft die Funktion in der Umgebung deiner Unstetigkeitstelle gegen +-oo. Um eine hebbare Unstetigkeitsstelle handelt es sich dagegen nur genau dann, wenn linksseitiger Grenzwert der Funktion gleich dem rechtseitigem Grenzwert an dieser Stelle ist, und beide existieren (also insbesondere endlich sind).


Viele Grüße, Cyrix
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 21:03:41    Titel:

1)Wie grenzt du Polstellen von hebbaren Unstetigkeitsstellen ab?
Immer so:
Du musst auch den Wert des Zählers mit einbeziehen:

Wenn für ein x-Wert der Nenner Null ist und gleichzeitig aber auch der Zähler Null wird,
dann hast du einen sog. "unbestimmten Ausdruck" und es liegt, wenn es sich um eine
einfache Nenner-Nullstelle handelt, eine hebbare Unstetigkeitsstelle vor.

Beispiel: (x^3 + 1) / (x^2 – 1) ... Nenner und Zähler sind für x= - 1 gleich Null
es liegt dort also eine hebbare Unstetigkeitsstelle vor:

Das Grenzverhalten untersuchst du so: Faktorzerlegung:
(x^3 + 1) / (x^2 – 1) = [(x+1)*(x^2 – x +1)] / [(x+1)*(x – 1)]
Und jetzt kannst du .. (für alle x ungleich -1 ) .. kürzen: .. (x^2 – x +1) / (x – 1)
und dieser Term stimmt also überall (ohne bei -1) mit (x^3 + 1) / (x^2 – 1) überein,
der Grenzwert von (x^3 + 1) / (x^2 – 1) für x gegen – 1 existiert und ist gleich dem Wert von
(x^2 – x +1) / (x – 1) an dieser Stelle , also gleich -(1/2).
Mit diesem Wert kannst du die Definitionslücke an der Stelle – 1 schliessen und die Unstetigkeit beheben.

2)Wenn du jetzt weitermachst, also das Beispiel für alle von – 1 verschiedenen x-Werte untersuchst,
dann brauchst du nur noch (x^2 – x +1) / (x – 1) untersuchen:
und da kommst du zu einer Polstelle bei x=+1 ( Nenner 0 und Zähler 1)

allgemein: Polstellen immer dort wo Nenner Null und Zähler ungleich Null

3)Als Zugabe noch dies: Wenn der Grad des Zählerpolynoms grösser ist als der Grad des Nennerpolynoms,
dann gibt es noch „schiefe“ Asymptoten (oder allgemeiner auch asymptotische Kurven:
Wieder zum Beispiel: du führst die Polynomdivision aus:
(x^2 – x +1) : (x – 1) = x + [1 / (x – 1)]
das kannst du so lesen: der Graph von f(x)= (x^2 – x +1) / (x – 1) nähert sich
für grosse Betrag x asymptotisch der Geraden y=x

4)Also: Polstellen .. , .. Definitionslücken .. es ist (immer) so wie oben beschrieben... Smile
und ich hoffe, dass es diesmal verständlich und nicht zu kompliziert ist Question
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Anmeldungsdatum: 12.11.2006
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 23:39:49    Titel:

hi.
danke für die schnellen antworten erst einmal!
---------------------------danke! danke! danke! xD ----------------------------
ja. einen teil habe ich verstanden (Angrenzung der beiden Arten von De.lücken) Smile das ist schonmal gut!

Nur was ich nocht nicht genau verstanden hab, ist die Faktorzerlegung / die "hebung der hebbaren Def.lücke" und die daraus entstehende Funktion ohne Def.lücke.

konkret meine ich:

- die (x+1) ist aus der erratenen Nullstelle -1 entstanden? oder wo kommt der term her?

- dann: Diesen schritt versteh ich nicht => von der ursprungsgleichung zu [(x+1)*(x^2 – x +1)] / [(x+1)*(x – 1)] .hast du mit dem Term (x+1) in der ursprungsgleichung etwas ersetzt? wenn ja, was. oder anders gefragt: warum gerade DORT eingesetzt?

- das man dann kürzen kann, seh ich ein Smile alles klar
- das diese definition im gegensatz zur urspungsgleichung bei -1 definiert is, versteh ich auch

- dann deine aussage: "der Grenzwert von (x^3 + 1) / (x^2 – 1) für x gegen – 1 existiert und ist gleich dem Wert von
(x^2 – x +1) / (x – 1) an dieser Stelle , also gleich -(1/2). " ... wie bist du darauf gekommen? hast du dich von links und rechts dem Wert -1 genähert und durch einsetzten dieser Nährungswerte -(1/2) herausbekommen? dann würde es mir einleuchten, wenn nicht, bitte nochmal erklären Wink

Soweit erstmal. Das mit dem Abgrenzen hab ich dann kapiert.
Was mich - neben meinen Fragen (s.o.) - interessiert (Zu deinem Zusatz):
Wenn Z-Exponent größer N-Exponent ist, dann schiefe Gerade. ok.
FRAGE: wenn z<n, dann ist Gerade die X-Achse, oder? und wenn z=n ist, dann ist die Gerade ne Parallele zur X-Achse, richtig?

bye bye Smile
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Anmeldungsdatum: 12.11.2006
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 23:53:58    Titel:

ehm noch etwas:

woran erkenne ich, ob es bei einer Polstelle einen Vorzeichenwechsel gibt?

gruß
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 11:13:14    Titel:

Zum Beispiel: .. (x^3 + 1) / (x^2 – 1)

konkret fragst du ::
- die (x+1) ist aus der erratenen Nullstelle -1 entstanden? oder wo kommt der term her? Arrow
diese Nullstelle ist nicht „erraten“ sondern berechnet: - als Nullstelle des Nenners,
dh. als Lösung der Gleichung x^2-1=0
Und jetzt wird dieser x-Wert im Zähler eingesetzt. Wenn da dann (wie bei x^3+1) auch Null rauskommt,
dann weisst du dass x^3+1 ohne Rest durch x+1 teilbar sein wird.
Die Polynomdivision ergibt dann als Ergebnis die Zerlegung x^3+1=(x+1)*(x^2 – x +1)

also kannst du insgesamt so Faktorisieren und dann kürzen :
(x^3 + 1) / (x^2 – 1) = [(x+1)*(x^2 – x +1)] / [(x+1)*(x – 1)] = (x^2 – x +1) / (x – 1)
(für x nicht -1)


- "der Grenzwert von (x^3 + 1) / (x^2 – 1) für x gegen – 1 existiert und ist gleich dem Wert von
(x^2 – x +1) / (x – 1) an dieser Stelle , also gleich -(1/2). " ... Arrow

Wenn die beiden Funktionen bis auf die Stelle x=-1 identisch sind (gleicher Graph,
nur (x^3 + 1) / (x^2 – 1) hat dort sozusagen ein „Loch“ , während (x^2 – x +1) / (x – 1) dort den Wert -(1/2) hat ..
wo siehst du dann noch ein Problem mit der Grenzwertberechnung für (x^3 + 1) / (x^2 – 1) bei -1?


Soweit erstmal. Das mit dem Abgrenzen hast du dann kapiert.
Was dich - neben deinen Fragen (s.o.) - interessiert (Zum Zusatz):
Wenn Z-Exponent größer N-Exponent ist, dann schiefe Gerade. ok. ODER evtl GRENZKURVE..
FRAGE: wenn z<n, dann ist Gerade die X-Achse, oder? ... JA...
und wenn z=n ist, dann ist die Gerade ne Parallele zur X-Achse, richtig? .. JA..


ehm noch etwas: woran erkennst du, ob es bei einer Polstelle einen Vorzeichenwechsel gibt? Arrow
Schlicht und einfach so:
Setze je einen beliebigen x-Wert von knapp links bzw. knapp rechts von der Polstelle in die Gleichung ein –
du brauchst gar nicht genauer zu rechnen, sondern nur schauen,
welches Vorzeichen es wohl jeweils geben wird. Und siehe da! ..OK Question
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Anmeldungsdatum: 12.11.2006
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 19:08:03    Titel:

super.. vielen dank, denke ich habs kapiert. bis denne Wink
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