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Beweis von Injektion mit Tupeln
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meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 18:39:40    Titel: Beweis von Injektion mit Tupeln

f: (z,x) -> z/(x+37)

wie beweise ich hierbei Injektion? Normal würde ich jetzt f(T_1) = f(T_2) setzen (T für Tupel) und daraus dann folgern, dass T_1 = T_2 sein muss (wenn Injektion herrscht). Aber mir machen hierbei eben grade die Tupel zu schaffen bzw. die zwei Variable in f(T). Hat mir jemand einen Tip?
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 20:32:49    Titel:

Nehme an, Du meinst Injektivität.
Man sieht eigentlich sofort, dass f nicht injektiv ist, denn:
Seien T_1=(1,1) und T_2=(2,39). Dann gilt:
f(T_1)=1/38 und f(T_2)=2/76=1/38=f(T_1).
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 21:45:31    Titel:

Peneli hat folgendes geschrieben:
Nehme an, Du meinst Injektivität.

Ja, das mein ich. Aber ist ja auch das gleiche.

Und vielen Dank für deine Antwort. Is mir gar nicht aufgefallen, dachte eigentlich, dass die Abb. injektiv ist, und kam mit dem Beweisen dafür nicht klar. Rolling Eyes
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 16:00:11    Titel:

Ich schaff es leider nicht zu zeigen, dass f surjektiv ist.

z ist Element der ganzen Zahlen
x ist Element der natürlichen Zahlen
f_(z,x) ist Element der rationalen Zahlen

Somit ist f surjektiv (oder etwa doch nicht?).
Ich weiß aber nicht, wie ich das beweisen kann. Komme damit nicht klar, dass hier zwei Variablen vorhanden sind.
Kann jemand helfen?
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 16:10:05    Titel:

Sei y=a/b beliebig aus Q mit a aus Z, b aus N.
Dann gilt y=38a/(38b).
Wegen a aus Z gilt 38a ist in Z.
Wegen b aus N ist 38b>37, x:=38b-37 ist in N und 38b=38b-37+37=x+37.
Also ist ein Tupel (x,z):=(38b-37,38a) mit den geforderten Eigenschaften gefunden, für das y=f(x,z) gilt.
Demnach ist f surjektiv.
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 16:38:55    Titel:

Wow, ganz schön kompliziert. Die 4. Zeile musste ich mir ein paar mal durchlesen, bis ich all deine Schritte nachvollziehen konnte.
Aber mir is jetzt alles klar. Sehr schön, vielen Dank dafür Very Happy
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