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Komplexe zahlen berechnungen
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greenko
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Anmeldungsdatum: 28.10.2006
Beiträge: 61

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 18:40:42    Titel: Komplexe zahlen berechnungen

1.

Bestimmen sie Real, Imaginärteil, Betrag und Argument() der Lösungen aus folgenden Gleichungen, (Z€C).

a) Z = ( 1 + i*wurzel(3) )^12

b) Z^2 = ( 5 - 12*i)

c) Z^2 + (2 - 4*i)Z - (3 + 2*i) = 0



2.

C komplexe, R reelle menge..
Bestimmen sie in (C) alle Nullstellen der folgenden Polynome p und zerlegen sie jeweils p in (R) in lineare und quadratische Faktoren:

a) p(z) = z^6 - 1

b) p(z) = z^6 + 1

c) p(z) = z^4 - z^3 + 4z^2 + 3z + 5 (z = 1 - 2i ist Nullstelle)

d) p(z) = z^6 + z^4 + z^2 + 1


3.

Führen sie die beiden folgenden Funktionen jeweils eine Partialbruchzerlegung durch

a)

f(x) = (5x^2 - x) / (x^4 - x^3 - 3x^2 + x + 2)

b)

f(x) = (x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 3x + 3) / (x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 8x + 4)
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 20:59:07    Titel:

Na, dann mach mal. Very Happy Oder rechnest Du damit, dass Dir jemand alle Deine Aufgaben löst, ohne dass eigenständiges Denken von Deiner Seite ersichtlich ist? Wink
greenko
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Anmeldungsdatum: 28.10.2006
Beiträge: 61

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 21:44:45    Titel:

1.
_____________________________________________________________
a)

Z = ( 1 + i*wurzel(3) )^12

Also wir brauchen den Betrag, real, imag, und argument von

Z = r^12 * e^(i*12*argument) = (2^12)*cos(2pi) + (2^12)*sin(2pi)*i

richtig ? dann ist.. Re(z)=X= (2^12)*cos(2pi), Img(z) =Y=(2^12)*sin(2pi)

Argument ist = arctan Y/X, und Betrag ist Wurzel(X^2 + Y^2)


b)

Z^2 = ( 5 - 12i)

(x + iy)^2 = 5 - 12i also (x^2 - y^2) + (2xy)i = 5 - 12i

Realteil links = relteil rechts.. usw.. später quadratgleichung..
..


c)

Z^2 + (2 - 4*i)Z - (3 + 2*i) = 0

quadrat gleichung berechen ..
Z1 = -1 + 2i + [Wurzel( 8 ) * Wurzel(i^3)]/2
Z2 = -1 + 2i - [Wurzel( 8 ) * Wurzel(i^3)]/2

Wurzel(i^3) von da ist dann nach berechnung weiter zwei komplexe zahlen
a = 1/2 + [i*Wurzel(3)]/2 und b = -1 + 0*i

also das in da obere benutzen oder..

so..und weiter oder.. wie
_____________________________________________________________
2.

Wie gehen zumindest die ersten zwei zerlegungen !?
_____________________________________________________________
3.

Wie gehen die beide, kann mann das erste a) normal machen und wie.
Muss mann am zweiten b) zuerst oben polynomdivision durchführen.. und wie!?
_____________________________________________________________
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 09:08:54    Titel:

1a) Sieht doch nicht schlecht aus. Mach's Dir aber nicht komplizierter als es ist:
z=w^12 mit w=1+i*sqrt(3). Dann ist |z|=|w|^12 und arg(z)=12*arg(w).
Re und Im sind richtig, solltest Du aber auflösen. (Was ist denn cos(2pi) bzw. sin(2pi)?)

1b) Kann man auch über die Gleichung für die n-te Wurzel lösen. Findest Du in jeder Formelsammlung.

1c) Die Rechnung kann ich nicht nachvollziehen.
Man kann das z.B. mit quadratischer Ergänzung lösen:
z²+(2-4i)z-(3+2i)=(z+1-2i)²+2i=0.
Mit Wurzelgleichung die Wurzel aus -2i berechnen und von den zwei erhaltenen Lösungen jeweils 1-2i abziehen.

2) Zuerst musst Du natürlich die Nullstellen z1 bis z6 berechnen. Die lineare Zerlegung in C ist dann einfach
p(z)=(z-z1)(z-z2)...(z-z6).
Dabei kommen natürlich auch komplexe Faktoren vor. Jetzt kann man versuchen, jeweils zwei komplexe Faktoren zu multiplizieren, so dass man einen quadratischen reellen Faktor erhält.
a) (z-1)(z+1)(z²+z+5/4)(z²-z+5/4), falls ich mich auf die Schnelle nicht verrechnet hab.
b) kriegst Du sicher allein hin.

3) Was ist "normal"? Zerleg den Nenner mit Hilfe der Nullstellen in Faktoren über R. Dann stellst Du A/Faktor1+B/Faktor2 etc. auf, führst das wieder auf die alte Form zurück und löst das GS, das aus dem Koeffizientenvergleich ensteht.
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