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Lineare Differenzengleichungen
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hagen85
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 19:03:09    Titel: Lineare Differenzengleichungen

Hallo,
habe erstmal zwei kleine allgemeine Frage, eine Differenzengleichung der Form
f_(n+1) - f_n=b

hat die Immer eine Lösung der Form
f*=A+b*n
???
Welche Lösung hat dann:
f_(n+1) - q*f_n=b
???

So und nun zu meinem Eigentlich anliegen:
Wie kann man dann solche gleichungen lösen:
f_(n+2)-6*f_(n+1)+9*f_n=8 ?

Hoffe ihr könnt mir helfen:Schon mal Vielen Dank.

MFG

PS:Zur Erläuterung _ heißt tiefgestellt - LaTex Code ist ja leider nicht möglich oder?!
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 19:14:31    Titel:

Hallo!

Nein, LaTeX erkennt das Forum leider nicht. Aber zum Glück wenigstens ein Großteil seiner Leser (da das meiste ja auch intuitiv klar ist. Smile )

Zum Thema: Solche Rekursionen löst man meist ganz gut mit dem Potenzansatz:

Setze f(n):=a^n. Damit bekommst du eine lineare Gleichung für a, wenn du nur einen Vorgänger betrachtest, eine quadratische, wenn zwei Vorgänger gebraucht werden um das nächste Folgenglied zu berechnen, eine kubische bei drei Vorgängern, ... Smile

Dies löst du, und erhältst die Lösungen a_1; a_2; ... ; a_m (die der Einfachheit alle verschieden seien).

Dann hat jede Lösung deiner Rekursionsbedingung die Form c_1*a_1^n + c_2*a_2^n + ... + c_m*a_m^n; mit Konstanten c_1 bis c_m.

Mit den Anfangsbedingungen erhältst du nun ein lineares Gleichungssystem in c_1 bis c_m, welches du lösen kannst, und hast deine Funktion eindeutig bestimmt. Smile


Viele Grüße, Cyrix
hagen85
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 19:22:04    Titel: zum thema

Hi danke für deine Antwort
Zitat:
Zum Thema: Solche Rekursionen löst man meist ganz gut mit dem Potenzansatz:

Zu welchem?Smile
bezog sich deine Antwort auf meine letzte Frage??
Was ist mit den ersten beiden? Oder war das quasi eine allumfassende Lösung?Smile

MFG
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 19:31:17    Titel:

Das Thema war der Inhalt deiner Frage (und nicht der LaTeX-Code) Wink

Und ja, die Antwort war ein Verfahren für alle solche Gleichungen. Smile (genauer: nicht für alle, aber für einige Wink )


Viele Grüße, Cyrix
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