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Irrational
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Twenty
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Anmeldungsdatum: 21.10.2006
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 21:27:58    Titel: Irrational

Ich habe folgendes Problem. Und zwar muss ich zeigen, dass wurzel 2 + wurzel 3 eine irrationale zahl ist.
Allerdings weiß ich nicht genau, wie ich das machen soll:
1) Soll ich zuerst zeigen, dass wurzel 2 eine irrationale zahl ist und anschließend das Wurzel 3 eine irrationale zahl ist, und somit auch die summe der beiden zahlen irrational ist.
oder
2) Ich nehme einfach an wurzel 3 + wurzel2 sei rational, und somit wurzel 3 = x - wurzel 2 mit rationalem x. Dann quadrier ich beide seiten, löse nach wurzel 2 auf und daduch habe ich gezeigt, dass wurzel 2 irrational ist und x eine rationale zahl.

welche methode stimmt bzw. wie kann ich es am geschicktesten machen?
danke schon im voraus
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24252

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 21:35:55    Titel:

Hallo!

Methode 1) ist falsch, wie man sich leicht an sqrt(2) und -sqrt(2) überlegen kann.

Methode 2) funktioniert:

x:=sqrt(2)+sqrt(3) ==> sqrt(3)=x-sqrt(2)

==> 3=x^2-2sqrt(2)*x+2

==> 1=x*(x-2*sqrt(2))

==> (x rational ==> sqrt(2) ist rational) Smile


Viele Grüße, Cyrix
Twenty
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Anmeldungsdatum: 21.10.2006
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 21:38:52    Titel:

Sorry, vielleicht habe ich dich falsch verstanden, aber aus x = rational kann doch nicht wurzel 2 ist rational folgen. wurzel 2 ist doch irrational!!!!
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24252

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 21:44:26    Titel:

ergo muss x selbst irrational sein. Wink

(indirekter Beweis. Smile )

Viele Grüße, Cyrix
Twenty
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Anmeldungsdatum: 21.10.2006
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 21:48:20    Titel:

stimmt. Ich sass wohl etwas auf der Leitung. Meinst du das reicht als Beweis? Schließlich gibt die aufgabe 4 punkte.Thx
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24252

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 21:48:44    Titel:

Klar. Smile

Viele Grüße, Cyrix
Twenty
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Anmeldungsdatum: 21.10.2006
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 22:17:14    Titel:

Sorry, ich habe noch ne Frage. Was schreib ich denn nach x=rational, wurzel2 =rational noch hin? Somit gilt das Gegenteil: x= rational und wurzel2 irrational. Oder wie schreib ich das dann?
Vielleicht wurzel2 ist kein element von Q und x ist element von Q?Danke nochmal.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24252

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2006 - 22:22:51    Titel:

Ja, irgendwas in der Größenordnung. Smile

Viele Grüße, Cyrix
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