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Darstellung von Ebenen
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VWHoney
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Anmeldungsdatum: 13.11.2006
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 14:39:52    Titel: Darstellung von Ebenen

Guten Tag, ich hab mit dem Thema meine Schwierigkeiten. Deshalb wäre es super lieb, wenn mir jemand helfen könnte!

Aufgabe: Gegeben sind drei Ebenen in der verschiedenen Darstellungsformen (Parameterform, Normalenform, Koordinatenform) (k1, k2 elenment aller reellen Zahlen):

E1= Vektor x = [2 2 4] + k1 [3 2 9] + k2 [ 0 1 0] (<= die Zahlen in den

eckigen Klammern sind natürlich untereinander geschriben)

E2= (Vektor x - [4 2 1] * (Skalar) [-1 2 1] = 0 (<= die Zahlen in den

eckigen Klammern sind natürlich untereinander geschriben)

E3= 3 x1 + 5 x2 + 3 x3 = 1





Dann gibt es noch eine Unteraufgabe mit der Überschrift Umgang mit Darstellungsformen

a) Geben Sie für E1, E2 und E3 jeweils mindestens zwei Punkte an, die in der Ebene liegen.

b) Geben Sie für E1, E2 und E3 jeweils eine weitere Gleichung (in der gleichen Darstellungsform) an, mit der die Ebene ebenfalls beschrieben wird.

c) Geben Sie die Ebene E1, E2 und E3 jeweils in allen drei Darstellungsformen an.

d) besitmmen Sie jeweils den Schnittpunkt von g mit E1, E2 und E3:

g: Vektor x = [1 4 3] + k[0 -1 1] (<= die Zahlen in den

eckigen Klammern sind natürlich untereinander geschriben)

e) Besitzen die Ebenen E1, E2 und E3 gemeinsame Punkte? Bestimmen Sie diese, falls möglich.


Bitte hilf mir jemand, ich blick nich mehr durch.[/code]
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 16:30:51    Titel:

Zu a: Die Parameterdarstellung gibt an, wie sich die Ortsvektoren der Ebenenpunkte berechnen lassen. k_1 und k_2 sind dabei frei wählbar. Du mußt also nur für k_1 und k_2 reelle Zahlen einsetzen und erhälst dann den Ortsvektor eines Ebenenpunktes. Ebene 2 ist in Normalenform gegeben. Die hat den Vorteil, daß man schnell überprüfen kann, ob ein Punkt in der Ebene liegt, indem man seinen Ortsvektor in die Normalenform einsetzt und prüft, ob die Gleichung dann erfüllt ist. Will man umgekehrt einen Punkt der Ebene angeben, läßt man den Vektor x als Koordinatenvektor frei und faßt die Gleichung nach den (hoffentlich) bekannten Rechenregeln für Vektoren und Skalarprodukt zusammen. Man erhält dann eine Koordinatendarstellung der Ebene, also eine Gleichung mit drei Unbekannten (siehe Ebene 3). Jede Lösung dieser Gleichung liefert einen Punkt der Ebene, man muß also nur die Lösung des "Linearen Gleichungssystems" mit einer Gleichung und drei Unbekannten ermitteln.
Bei Ebene 3 geht das genauso, hier entfällt lediglich der Schritt der Umrechnung in die Koordinatengleichung.

Zu b: Die Koordinatendarstellungen einer Ebene sind Vielfache voneinander, d.h. bei Ebene 3 erhält man alle weiteren Koordinatendarstellungen durch Multiplikation mit reellen Zahlen außer der 0 (warum wohl ? Wink ) Genauso kann man auch Ebene 2 in eine andere Normalenform bringen (--> Rechenregeln für Vektoren und Skalarprodukt anwenden!) Bei Ebene 1 ist es ein wenig aufwendiger: Entweder du nimmst einen anderen Stützvektor (vgl. Aufgabenteil a) oder du bildest (evtl. auch zusätzlich) aus den beiden Richtungsvektoren Linearkombinationen, von denen du zwei aussuchst, die nicht kollinear sind und verwendest diese als neue Richtungsvektoren.

Zu c: Zu Ebene 1 erhält man einen Normalenvektor als Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren; mit dem wird die Parametergleichung multipliziert und man erhält eine Normalenform (die Parameter fallen raus, da die zugehörigen Skalarprodukte nach Voraussetzung den Wert 0 ergeben (warum?) Führt man das Skalarprodukt „Vektor x (Skalar) Normalenvektor“ in dieser Gleichung aus, erhält man eine Koordinatendarstellung der Ebene.
Das kann auch bei Ebene 2 gemacht werden, weshalb hier nur noch die Parameterdarstellung gesucht ist. Dazu bestimmst Du zwei linear unabhängige Vektoren, die mit dem Normalenvektor der Ebene 2 das Skalarprodukt 0 ergeben, also eine Basis der Lösung des homogenen Gleichungssystems: „Normalenvektor (Skalar) x = 0“ als Richtungsvektoren. Einen Stützvektor erhälst du aus einem der beiden zu Ebene 2 gehörigen Punkte aus Teil a).
Bei der Koordinatendarstellung der Ebene 3 verläuft das Spiel genauso: homogene Gleichung lösen, zwei linear unabhängige Lösungen als Richtungsvektoren wählen und Stützvektor aus a) verwenden.

Zu d: Schnittpunkt mit Ebene 1 ergibt sich durch Gleichsetzen und Lösen des Linearen Gleichungssystems und Einsetzen der Parameterwerte k, k_1 und k_2 in die zugehörigen Gleichungen. Bei Ebene 2 und Ebene 3 wird die Gerade in die Darstellungen eingesetzt und der Parameterwert k bestimmt. Setzt man diesen anschließend diesen in die Geradengleichung ein, erhält man den jeweiligen Schnittpunkt.

Zu e: Um den Schnitt von zwei dieser Ebenen zu bestimmen, betrachtet man am besten (nach der Vorarbeit aus c) das Lineare Gleichungsystem aus den Koordinatendarstellungen der beiden Ebenen. Den Schnitt aller drei Ebenen erhälst du aus dem Gleichungssystem, das aus allen drei Koordinatendarstellungen besteht.
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