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Diopahntische gleichung
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Marcoo
Gast






BeitragVerfasst am: 19 Nov 2004 - 20:03:34    Titel: Diopahntische gleichung

Hi,

ich hab folgendes problem:

ich hab die gleichung: ax - by = -1 x und y sind ganze zahlen (a und b bekannt)

bei wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Diophantische_Gleichung ist das wunderbar erklärt und hab zumindest verstanden, wie man auf das ergebnis kommt.

Problem: Bei manchen zahlen für a und b kann es passieren, dass das falsche ergebnis herauskommt. In diesem fall findet man solche gleichung: ax-by=1 ; also 1 statt -1.

Frage: Woran liegt das? KAnn man das irgendwie verhindern?
Ein biespiel bei dem sowas passiert lautet: a=1008; b=5; da bekomme ich als ergebnis: x = 2; y = 403, aber das ist ja leider falsch Sad

Hoffe ihr könnt mir helfen. Schonmal danke im vorraus
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 19 Nov 2004 - 22:44:00    Titel:

Eine inhomogene diophantische Gleichung in zwei Variablen ist der aller einfachste Fall, denn die Lösungen sind geschlossen charakterisiert. Das wirst Du aber schon gesehen haben, oder?

Lösbarkeit von ax+by+c = 0 ist klar: ggT(a,b) | c.

Lösungsmenge ergibt sich, wie in LA. aus L + l_0, wobei L die Lösungsmenge der zugehörigen homogenen Gleichung ax+bx = 0 ist und l_0 eine spezielle Lösung. Auf der verlinkten Seite hast Du den Algorithmus zur Berechnung einer speziellen Lösung. L hat die Eigenschaft {(ea',eb') | e in Z} mit a' = a/ggT(a,b) und b' = b/ggT(a,b).

Wenn Du also a = 1008, b = -5 hast (Die Regeln sind ja für ax+by+c gemacht). Dann hast Du ja ggT(1008,-5) = 1 und Somit z.B. a' = 1008 und b = -5. Eine spezielle Lösung bekommst Du z.B. durch 1 = 2 * 1008 + 403 * (-5) (wie auf der Seite erklärt). Wegen ggT(a,b) = 1 ist (2,403) eine spezielle Lösung, denn 2 * 1008 + 403 * (-5) - 1 = 0.

Alle Lösungen sind dann

(2, 403) + e (1008,-5).
Marcoo
Gast






BeitragVerfasst am: 21 Nov 2004 - 16:43:16    Titel:

Habs mir jetzt lange angeschaut, aber die rolle von noch nicht ganz verstanden. Kann ich, wenn ich die werte für ax - bx = 1 hab auch auf die werte für ax-bx=-1 zurückschließen?

Zitat:
Alle Lösungen sind dann

(2, 403) + e (1008,-5).


das hab cih nicht so ganz verstanden. Was hat dieses "+" zu bedeuten?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2004 - 16:43:54    Titel:

Komponentenweise Addition über Z X Z
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2004 - 16:51:08    Titel:

Ich habe deine Frage oben nochmal gelesen. Auf der verlinkten Seite, finde ich, ist es ein wenig zu Beispielorientiert erklärt. Eine präzise Erklärung bietet der folgende Satz aus Zahlentheorie:

Sei a_1 x_1 + ... + a_n x_n + c = 0 eine diophantische Gleichung und sei

g = ggT(a_i) = sum_{i=1}^n y_i a_i.

Sei weiterhin c = ge (Voraussetzung für die Lösbarkeit). Dann ist (ey_1,...,ey_n) eine spezielle Lösung der diphantischen Gleichung.

D.h. wenn Du strikt nach Plan deine a_i 's (in den erweiterten Euklid reinwirfst) und die Linarkombination ausrechnest MUSS es stimmen.
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