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Zaunkönig
Newbie
Anmeldungsdatum: 15.11.2006
Beiträge: 28
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 Verfasst am: 15 Nov 2006 - 17:15:04 Titel: Ungleichung |x − 2| + |x + 1| < 2x. |
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Hallo,
hab meine Ungleichung gerade nochmal überdacht, und habe als x wert (-3/2) raus.
Kann mir einer sagen, ob das stimmt? Laut fallunterscheidung komme ich nur auf diesen einen Wert. Kann ich dann einfach sagen die obere Grenze für x liegt bei + unendlich?
Grüße Maike |
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mkk
Full Member
Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483
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| Verfasst am: 15 Nov 2006 - 17:21:17 Titel: |
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Eine eindeutige Lösung gibt es hier nicht (wie bei fast allen Ungleichungen)!
Schau dir mal die Beträge an. Du mußt drei Fälle unterscheiden, nämlich
a) x < -1, d.h. es ist x - 2 < -3 < 0 => |x - 2| = -x + 2
und x + 1 < 0 => |x + 1|= -x - 1
b) -1 =< x < 2, also |x - 2| = -x + 2 und |x + 1| = x + 1
c) x =< 2, d.h. |x - 2| = x - 2 und |x + 1| = x + 1
Fall a) ergibt dann die Ungleichung:
-x + 2 - x - 1 < 2x => -2x + 1 < 2x => 1 < 4x => 1/4 < x.
Ohne die Einschränkung, die wir im Fall a) machen, hätte diese Ungleichung also die Lösung {x: 1/4 < x}.
Die Einschränkung allerdings muß genauso beachtet werden und da es nun mal keine x gibt, die gleichzeitig x < -1 und 1/4 < x erfüllen, existieren für Fall a) keine Lösungen.
Fall b) liefert als Lösungsmenge {x: 3/2 < x < 2}
und Fall c) {x: 2 =< x}
Die gesamte Lösung ist also IL = {x: 3/2 < x}.
_________________
Mathematik ist die einfachste Wissenschaft, denn sie ist von Menschen gemacht! |
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Zaunkönig
Newbie
Anmeldungsdatum: 15.11.2006
Beiträge: 28
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| Verfasst am: 15 Nov 2006 - 17:59:54 Titel: |
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| mkk hat folgendes geschrieben: |
Eine eindeutige Lösung gibt es hier nicht (wie bei fast allen Ungleichungen)!
Schau dir mal die Beträge an. Du mußt drei Fälle unterscheiden, nämlich
a) x < -1, d.h. es ist x - 2 < -3 < 0 => |x - 2| = -x + 2
und x + 1 < 0 => |x + 1|= -x - 1
b) -1 =< x < 2, also |x - 2| = -x + 2 und |x + 1| = x + 1
c) x =< 2, d.h. |x - 2| = x - 2 und |x + 1| = x + 1
Fall a) ergibt dann die Ungleichung:
-x + 2 - x - 1 < 2x => -2x + 1 < 2x => 1 < 4x => 1/4 < x.
Ohne die Einschränkung, die wir im Fall a) machen, hätte diese Ungleichung also die Lösung {x: 1/4 < x}.
Die Einschränkung allerdings muß genauso beachtet werden und da es nun mal keine x gibt, die gleichzeitig x < -1 und 1/4 < x erfüllen, existieren für Fall a) keine Lösungen.
Fall b) liefert als Lösungsmenge {x: 3/2 < x < 2}
und Fall c) {x: 2 =< x}
Die gesamte Lösung ist also IL = {x: 3/2 < x}. |
Eine frage zu c) x =< 2, d.h. |x - 2| = x - 2 und |x + 1| = x + 1
sollte die Fallunterscheidung nicht x=2 und somit |x - 2| = -x - 2 und |x + 1| = x + 1 lauten?
weil sonst komme ich nicht auf x>3:2 |
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mkk
Full Member
Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483
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| Verfasst am: 15 Nov 2006 - 18:36:25 Titel: |
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Sorry, hast Recht: Fall c) ist x >= 2.
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