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Funktion ln mit Parameter
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mumpelsmaus
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Anmeldungsdatum: 25.10.2006
Beiträge: 43
Wohnort: Ludwigsfelde

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2006 - 16:29:41    Titel: Funktion ln mit Parameter

Hallo!
Ich beschäftige mich mit der Aufgabe

ft(x)= ln( t*((1+x)/(1-x)))

Hierbei ist t>0
xED(t)

So ich denke, dass der Definitionsbereich gleich 0<x<1 ist.
(wenn nicht, dann sagt mir bescheid *g*)

Ich habe bereits das Schausbild von k(1) gezeichnet. also für t=1 eingesetzt. Der Graph beginnt im Koordinatenursprung und strebt monoton steigend gegen x=1..

Nun solle ich aber die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, die Asymptoten und Wendepunkte bestimmen.

Als Schnittpunkt des Graphen mit den koordinatenachsen habe ich den Koordinatenursprung aufgeschrieben. also (0/0)

Aber bei den Asymptoten und den Wendepunkten bekomme ich allmählig Probleme. Um die Wendepunkte benötige ich die erste und die zweite Ableitung. Und da haperts...

Soweit bin ich bisher gekommen (habe die Produktregel verwendet):

ft'(x) = (1/x)*(t*((1+x)/(1-x))) + ln(1*(1-x)^-2)

Der letzte Teil erscheint mir irgendwie falsch.

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei der 1. und 2. Ableitung helfen würde. Danke

Lg
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2006 - 17:00:47    Titel: Re: Funktion ln mit Parameter

mumpelsmaus hat folgendes geschrieben:

So ich denke, dass der Definitionsbereich gleich 0<x<1 ist.
(wenn nicht, dann sagt mir bescheid *g*)


was ist denn z.B. mit x = -0,5 ? Du solltest deinen Definitionsbereich erweitern ;-)

Gruss:


Matthias
mumpelsmaus
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Anmeldungsdatum: 25.10.2006
Beiträge: 43
Wohnort: Ludwigsfelde

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2006 - 17:07:26    Titel:

Oh, du hast recht.
Dankeschön, habe ich schon geändert in meinen Aufzeichnungen Wink

Hast du mal nen Blick auf die Ableitung geworfen?
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2006 - 17:24:38    Titel:

nehme doch an, dass du irgendwann mal was von den Regeln für das Rechnen mit Lögarithmen gehört hast Question

Also: ft(x)= ln( t*((1+x)/(1-x))) = ln(t) + ln((1+x)/(1-x))

und da siehst du, dass all die Kurven aus g(x) = ln((1+x)/(1-x)) hervorgehen durch Parallelverschiebung
(mit der Konstanten ln(t) in Richtung der y-Achse).

um zu wissen, welche Eigenschaften all die Kurven haben, musst du also nur die von g(x) ermitteln.
Asymptoten x= - 1 und x= +1;
Wendepunkt auf der y-Achse (also mit xW=0)
der Schnittpunkt mit der y-Achse für die f(x) ist dann bei (0; ln(t) )
usw..

PS: deine Ableitung ist ziemlich falsch Smile
du brauchst nur g(x) abzuleiten (denn der Summand ln(t) ist eine Konstante)
und das erledigst du mit der Kettenregel
also: versuchs nochmal Arrow y' = Question , y" = Question
mumpelsmaus
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Anmeldungsdatum: 25.10.2006
Beiträge: 43
Wohnort: Ludwigsfelde

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2006 - 17:40:11    Titel:

mathefan hat folgendes geschrieben:


PS: deine Ableitung ist ziemlich falsch Smile
du brauchst nur g(x) abzuleiten (denn der Summand ln(t) ist eine Konstante)
und das erledigst du mit der Kettenregel
also: versuchs nochmal Arrow y' = Question , y" = Question



Ok.
Habe mich jetzt noch mal mit der 1. Ableitung vergnügt *haha* Wink

Und da hätte ich erst mal raus:

y'(x) = ((1-x)/(1+x)) * ((1+x)/(1-x) * (-1)

daraus ergibt sich dann y'(x) = (x^2) +1


stimmt das soweit?
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2006 - 18:01:24    Titel:

es sieht so aus, als müsstest du dich weiter vergnügen Smile

also:
für die Ableitung von g(x) = ln((1+x)/(1-x))
brauchst du zunächst die Kettenregel

g(u) = ln(u) Arrow Ableitung nach u: Arrow dg/du = 1/u

innere Funktion u=((1+x)/(1-x)) Arrow Ableitung von u nach x Arrow
du/dx = Question Arrow hier musst du auch noch die Quotientenregel anwenden...

gesuchte Ableitung g ' = dg/dx = (dg/du) * (du/dx)

Arrow also: nochmal rein ins Vergnügen Exclamation ... und was kommt dann jetzt raus Question
mumpelsmaus
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Anmeldungsdatum: 25.10.2006
Beiträge: 43
Wohnort: Ludwigsfelde

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2006 - 18:22:21    Titel:

Hm, ok...also ich hab's jetzt noch mal probiert

Kettenregel --> u'(v(x))*v'
v'--> Quotientenregel --> (u'v-uv')/(v^2)

habe ich hoffentlich richtig verstanden Very Happy

also habe ich das folgendermaßen zusammengeschmissen:

y' = ((1-x)/(1+x))*((1+x)/(1-x))*(2/(1-x)^2)

und wenn das richtig ist, dann kann ich das ja nochn bissl zusammenfriemeln...

oh gott....freu mich schon wahnsinnig auf die zweite ableitung *achtung: ironie* Wink
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2006 - 18:51:20    Titel:

"..habe ich das folgendermaßen zusammengeschmissen: "

also geschmissen.. das kannst du laut sagen Exclamation

Quotientenregel --> (u'v-uv')/(v^2) Arrow das ist noch richtig Smile

in deinem Beispiel ist nun der Zähler u = 1 + x und der Nenner v = 1 - x

also ist u ' = 1 und v ' = - 1 (einverstanden?)

jetzt setzt du alles in die Formel am richtigen Platz ein,
dann wirst du am Schluss erhalten (u'v-uv')/(v^2) = 2/(1-x)²
schau mal, ob du das schaffst Question

also ergibt sich für g ' = [(1-x) / (1+x)] * [ 2/(1-x)² ]
und da kannst du noch zusammenfassen und kürzen

Arrow g ' = 2 / (1 - x² ) Smile

sieht doch friedlich aus? und da kannst du dich wirklich auf g" freuen .. Smile
mumpelsmaus
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Anmeldungsdatum: 25.10.2006
Beiträge: 43
Wohnort: Ludwigsfelde

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2006 - 19:06:12    Titel:

*sich an Kopp klatsch*

Die Quotientenregel hatte ich jetzt im Endeffekt so. Aber ich habe schon gesehen, was ich falsch gemacht habe. Ich hatte in meiner Ableitung noch nen v eingeschoben

y' = ((1-x)/(1+x))* ((1+x)/(1-x)) *(2/(1-x)^2)

Na gut, dann werd ich mich jetzt auf die zweite Ableitung stürzen Wink
mumpelsmaus
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Anmeldungsdatum: 25.10.2006
Beiträge: 43
Wohnort: Ludwigsfelde

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2006 - 19:14:00    Titel:

sooo...


y''(x) = (4-4x) / ((1-x)^4)

und jetzt sag bitte nicht, dass das falsch is Sad
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