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Funktion ln mit Parameter
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mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2006 - 19:06:29    Titel:

leider keine Entwarnung Smile

ich weiss nicht, warum du das nicht hinbekommst?
es stimmt immer noch die erste Ableitung schon nicht-
nebenbei: ich hatte die doch das richtige Resultat oben notiert?!

y' = ((1-x)/(1+x)) * Sad ((1+x)/(1-x)) *(2/(1-x)^2) Sad

der Teil mit der Quotientenregel - was hast du da bloss gemacht Question

also:
[(1+x) / ( 1 - x ) ] ' =

[(1-x)* (+1) - (1+x) * (-1) ] / (1-x)²

Ergebnis : 2 / (1-x)²

Arrow y ' = ((1-x)/(1+x)) * (2 / (1-x)²) = 2 / (1 - x²)

versuche das genau für dich noch mal aufzuschreiben...
und dann sie Ableitung von 2 / (1 - x²) solltest doch hinbekommen
mumpelsmaus
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Anmeldungsdatum: 25.10.2006
Beiträge: 43
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BeitragVerfasst am: 22 Nov 2006 - 21:19:47    Titel:

Mhm, ich glaube, dass ich mich in meinem letzten Beitrag falsch ausgedrückt habe.
Ich meinte ja, dass ich meinen Fehler gefunden hatte und der Fehler war das, was ich dort oben dick markiert habe.

Mir ist schon klar, warum, wieso und weshalb y' = (2/(1-x)^2) ist.

Naja und an der zweiten Ableitung hatte ich mich ja schon probiert. Aber du meinst ja, dass das nicht richtig ist.

Ich kann doch jetzt für (2/(1-x)^2) die Quotientenregel verwenden, oder nicht?
weil somit sieht das so aus:

y''(x) = (u'*v - u*v')/ v^2

u = 2
--> u'=0
v= (1-x)^2
-->v'= 2(1-x)(-1)

Also:

y'' = ((0*(1-x)^2) - 2(2(1-x)(-1)) / (1-x)^4

y'' = (-2(-2+2x)) / (1-x)^4

y'' = (4-4x) / ((1-x)^4)


Dies erscheint mir sehr sinnvoll. Wenn das nun aber nicht stimmen sollte, so sage mir doch bitte, wo mein Fehler liegt. Vielleicht bin ich ja auch schon falsch an die Sache rangegangen, aber das glaube ich beinahe nicht.

Danke für deine Hilfe. Bin froh wenigstens etwas Unterstützung zu haben Very Happy
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 23 Nov 2006 - 00:09:04    Titel:

der Fehler liegt immer noch darin, dass du die erste Ableitung halt wieder falsch notierst:
es ist nicht - wie du schreibst: Sad y' = (2/(1-x)^2) Sad sondern .... 2 / (1 - x²)

der entscheidende Unterschied ist, dass das Quadrat im Nenner NICHT aussen an der Klammer steht,
sndern richtig nur beim x Exclamation , das kommt daher:

es ist Arrow y ' = ((1-x)/(1+x)) * (2 / (1-x)²)

wenn du die Brüche ausmultiplizierst sieht das zunächst so aus:
Zähler Arrow 2*(1-x)
Nenner Arrow (1+x)*(1-x)² = 1+x)*(1-x)*(1-x)

Bruch Arrow [2*(1-x)] / [(1+x)*(1-x)*(1-x)]

und da kannst du mit (1-x) kürzen , dann bleibt:

[2] / [(1+x)*(1-x)] ... so.. und jetzt kannst du für das Produkt im Nenner die dritte Binomformel verwenden
und bekommst als Schlussergebnis:

y ' = 2 / ( 1 - x² ) ... also nochmal: das Quadrat steht jetzt nicht mehr aussen an der Klammer

Smile UND JETZT ALSO NOCHMAL : y" = Question
mumpelsmaus
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Anmeldungsdatum: 25.10.2006
Beiträge: 43
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BeitragVerfasst am: 23 Nov 2006 - 12:24:55    Titel:

Oh oh *da ja sehr trantütig gewesen bin* Sad

So na gut, dann nehmen wa das Quadrat eben zum x hinzu Smile
bin das eben noch mal Schritt für Schritt durchgegangen nochmal mit der y'


....
so, bei der 2. Ableitung dachte ich auch an die Quotientenregel. Also habe ich nun folgendes gemacht:

y' = 2 / (1-x²)

y'' = (u'v - uv') / v²

y'' = ((0*(1-x²)) - 2(-2x)) / (1-x²)²

y'' = 4x / (1-(x^4))


Hm, richtig?
Question
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 23 Nov 2006 - 12:44:49    Titel:

hi prima ... BEINAHE ein Volltreffer Exclamation Smile

denn bis hier ist die Mathe-Welt noch in Ordnung: Arrow

y'' = ((0*(1-x²)) - 2(-2x)) / (1-x²)²

ABER DANN KOMMT DER GAU Exclamation Sad Arrow y'' = 4x / (1-(x^4)) Sad

im Nenner hast du ein Binom, das zu quuadrieren ist Arrow (1-x²)² Arrow
und da kannst du doch nicht einfach nur das x² quadrieren Question

y'' = (4x) / (1-x²)² Arrow lass das als Resultat so stehen Exclamation

(du siehst da auch, dass die Wendestellen alle den x-Wert 0 haben - ein Wissen, das schon ganz zu Beginn klar war)
OK Question Smile
mumpelsmaus
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Beiträge: 43
Wohnort: Ludwigsfelde

BeitragVerfasst am: 23 Nov 2006 - 13:21:18    Titel:

Naja, aber trotzdem war es ja fast richtig Wink
Ich verdränge es immer, wenn ein Binom dasteht; das könnte mein banknachbar aus der Schule bezeugen. Der gibt mir da hin- und wieder auch Hinweise Embarassed

Ok, ich danke dir für deine Hife.
Vielleicht kann ich die ja noch mehr in Anspruch nehmen?!

Weil zu dieser Funktion habe ich noch mehr Teilaufgaben. Aber ich habe immer wieder meine Probleme. Wie du gesehen hast, mache ich allein schon bei den Ableitungen irgendwelche Schusseligkeiten Rolling Eyes

also meine Teilaufgabe b) lautet:

Wie entsteht K(t) aus K(1)?
Zeige, dass f(t) streng monoton wächst.
Welche Werte können die Tangentensteigungen von K(t) annehmen?
Für welchen Wert von t berührt K(t) die Gerade y=2x-3?
Gib die Ortslinie der Wendepunkte aller K(t) an.


Kannst du mir dabei helfen?
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 23 Nov 2006 - 14:10:12    Titel:

Wie entsteht K(t) aus K(1)? Arrow
die Sache mit den Parallelverschiebungen haben wir weiter oben schon geklärt

Zeige, dass f(t) streng monoton wächst. Arrow
schau dir die ertse Ableitung im Def.-Bereich -1<x<1 an ..
die ist nämlich dort immer positiv Arrow weisst du was das für die Monotonie bedeutet?

Welche Werte können die Tangentensteigungen von K(t) annehmen? Arrow
alle Werte >=2 (schau dir y ' an in -1<x<1

Für welchen Wert von t berührt K(t) die Gerade y=2x-3? Arrow
die Gerade muss eine Wendetangente sei (klar warum?), also ist ln(t) = - 3 und damit also t=e^(-3)

Gib die Ortslinie der Wendepunkte aller K(t) an. Arrow
wo alle Wendepunkte liegen müssen, haben wir ja echt schon geklärt .. klar?

sonst noch was Question Smile
mumpelsmaus
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Anmeldungsdatum: 25.10.2006
Beiträge: 43
Wohnort: Ludwigsfelde

BeitragVerfasst am: 23 Nov 2006 - 15:10:14    Titel:

Zeige, dass f(t) streng monoton wächst.
schau dir die ertse Ableitung im Def.-Bereich -1<x<1 an ..
die ist nämlich dort immer positiv weisst du was das für die Monotonie bedeutet?


Habe ich gemacht. Bei den x-Werten von -0,9 bis 0 sinken auch die y-Werte auf 2. Und ab 0 bis 0.9 steigen die Werte stark an. Die Werte, sind, wie du schon sagtest, positiv.
Ist damit nun schon bewiesen, dass f(t) streng monoton wächst?


Der Rest leuchtet mir eigentlich ein.
Nur kann ich bei der Aufgabe (Für welchen Wert von t berührt K(t) die Gerade y=2x-3? ) wirklich einfach sagen, dass die -3 sozusagen die Konstante ist, sprich: ln(t) ?

Das wäre ziemlich einfach...und mir kommt Mathematik immer so kompliziert vor Confused
Wink
mumpelsmaus
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Anmeldungsdatum: 25.10.2006
Beiträge: 43
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BeitragVerfasst am: 23 Nov 2006 - 16:56:29    Titel:

Meine Fragen im letzten Beitrag haben sich schon erledigt Wink

Bin jetzt dabei mich mit Teilaufgabe c) zu beschäftigen...

[K^(-1)](t) sei das Schaubild der Umkehrfunktion [f^(-1)](t )zu f(t).
Gib einen Funktionsterm [f^(-1)]t(x) an.
Wie geht [K^(-1)](t) aus [K^(-1)](1) hervor?
Welche Werte können die Tangentensteigungen von [K^(-1)](t) annehmen?

Oh man, hier sieht die Aufgabe ja noch blöder aus, als auch meinem Blatt. Ich hoffe, ihr könnt das nachvollziehen. Wusste nicht, wie ich die Umkehrfunktion aufschreiben sollte. Demzufolge ist diese immer das mit ^(-1).

Ich weiß, dass ich bei einer Umkehrfunktion einfach nach x umstellen muss. Allerdings finde ich das hier nicht so leicht.
Die Umkehrfunktion von lnx ist doch e^x
Aber das kann ich hier nicht so machen, oder?
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 23 Nov 2006 - 17:15:10    Titel:

Question Was hast du denn da wieder gemacht.Question Exclamation.. Arrow
Sad "... Bei den x-Werten von -0,9 bis 0 sinken auch die y-Werte auf 2. .." Sad

Arrow du musst das Bild von links nach rechts lesen ("abendländische Lesekultur! Smile )
also, wenn die x-Werte von -0,9 bis 0 laufen, dann nehmen die zugehörenden y-Werte doch ZU Exclamation
Arrow die Kurve "steigt" Idea
und zwar streng monoton... ( y ' > 0 Exclamation )..


und jetzt noch kurz dazu: Arrow "..Nur kann ich bei der Aufgabe (Für welchen Wert von t berührt K(t) die Gerade y=2x-3? )
wirklich einfach sagen, dass die -3 sozusagen die Konstante ist, sprich: ln(t) ? Arrow

Natürlich kannst du auch rein rechnerisch zum Ergebnis kommen:
Ansatz
: f(x) = g(x) ... UND ... f ' (x) = g ' (x) = 2 Arrow führt auch zu x=0 und y=-3 Smile:
es ist, wie du vermutest: Matthematik ist einfach ... schön. Smile
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