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Vektorrechnung[Beweis]
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shadowmasta
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Anmeldungsdatum: 19.11.2006
Beiträge: 38
Wohnort: Rostock

BeitragVerfasst am: 23 Nov 2006 - 21:05:32    Titel: Vektorrechnung[Beweis]

Hallo ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Unter dem Flächenvektor f einer ebenen Fläche F versteht man den zu F senkrechten Vektor, dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt von F ist.
Man beweise: Für ein beliebiges Tetraeder ist die Summe der nach außen gerichteten Flächenvektoren gleich 0


Also ein Tetraeder hat bekanntlich 4 Flächen und der Flächeninhalt einer Seite berechnet sich aus dem Kreuzprodukt (Vektorprodukt) zweier aufgespannten Vektoren, da es Dreiecksflächen sind 1/2 * |axb|.

Meine Überlegung war:
f1 + f2 + f3 + f4 = 0
(axb)+(bxc)+(axc)+((a-c)x(b-c)) = 0
Wenn man dann für a = ax,ay,az einsetzt usw hat man ein großen Term. Ist der Ansatz richtig und wenn ja wie geht es weiter, bzw. wie kommt man da auf 0 ?

Danke für die Hilfe
riwe
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Anmeldungsdatum: 02.10.2006
Beiträge: 279
Wohnort: linz

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2006 - 22:19:53    Titel:

dein ansatz ist schon richtig, aber du mußt GENAU auf die reihenfolge achten.
mit den 3 linear unabhängigen "kanten"- vektoren vom punkt A aus:
a = AB, b = AC und c = AD hast du:
f1 + f2 + f3 + f4 = a x b + (b - a) x ( c - a) + (-b) x ( c - b) + a x c = 0
wenn du ausmultiplizierst und beachtest, dass v x v = 0.
werner
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