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Menge, Addition
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gast4
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BeitragVerfasst am: 22 Nov 2004 - 18:32:20    Titel: Menge, Addition

Für ANA muss ich folgende Aufgabe lösen:

Es sei (X,+) eine abelsche Gruppe. Man zeige:

für alle a,b E X gibt es1 x E X x+a=b

Diese Aussage besitzt folgende Umkehrung:
Es sei X eine Menge mit einer assoziativen und kommutativen Addition + : X x X ---> X. Es gelte:

für alle a,b E X gibt es ein x E X x+a=b. Ferner sei x ╪ Ø. Man zeige: (X,+) ist abelsche gruppe.

Zusatzfrage: Kann man das auch mit einer zwar assoziativen, aber nicht notwendig kommutativen Multiplikation * : X x X ---> X machen?
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2004 - 18:47:36    Titel:

Zitat:

Es sei (X,+) eine abelsche Gruppe. Man zeige:

für alle a,b E X gibt es1 x E X x+a=b

das ist trivial. wenn -a das inverse von a bezeichnet, dann gilt ja automatisch
(b + (-a)) + a = b
dazu muss deine gruppe nciht mal abelsch sein

Zitat:

Es sei X eine Menge mit einer assoziativen und kommutativen Addition + : X x X ---> X. Es gelte:

für alle a,b E X gibt es ein x E X x+a=b. Ferner sei x ╪ Ø. Man zeige: (X,+) ist abelsche gruppe.

du musst nur zeigen dass es ein einziges neutrales element gibt, und für jedes a ein inverses -a
1a) existenz des neutralen elements: nimm einfach b=a
hier ist es auch notwendig dass die operation kommutativ ist!
1b) eindeutigkeit des neutralen elements:
a priori hast du für jedes a ein anderes x(a) sodass x(a) + a = a = a+ x(a).
aber für jedes b gilt dann x(a) + b = x(a) + a + (b + (-a))
daraus lässt sich denn ohne grössere probleme die eindeutigkeit zeigen
2) nimm einfach b = 0, dann folgt automatisch die existenz des inversen
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