Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Determinante, antisymmetrische Matrix (Zeigen Sie...)
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Determinante, antisymmetrische Matrix (Zeigen Sie...)
 
Autor Nachricht
caapi
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 185

BeitragVerfasst am: 25 Nov 2006 - 11:46:39    Titel: Determinante, antisymmetrische Matrix (Zeigen Sie...)

Bei der folgenden Aufgabe habe ich ein Problem:

B = (b[i][j]) sei eine antisymmetrische (nxn)-Matrix, mit b[i][j] = -b[j][i]

Zeigen Sie, dass die Determinante von B = 0 ist, falls n ungerade ist.

==> B^T = -B (<== B^T := die zu B gehörende transponierte Matrix)

==> det B^T = ((-1)^n) * det B = det B

==> mit n ungerade

==> -det B = det B

==> det B = 0


Nun kann ich leider den oben fett geschriebenen Teil nicht nachvollziehen. Mein Problem ist folgendes: Es gilt doch, dass det B = det B^T, wie ist es dann möglich, dass plötzlich det B^T = (-1)^n * det B = det B gelten soll? Ich kann diesen Schritt nicht nachvollziehen und wäre deshalb froh, wenn mir jemand dabei behilflich wäre.
someDay
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 25 Nov 2006 - 15:18:09    Titel:

Du nimmst nicht die Determinate von B, sondern die von -B, und diese ist alle Reihen mit (-1) multiplierst, nach einer Determinatenregel also det((-B) = det((-1)B)= (-1)^n* det(B).

Das Ergebnis folgt sofort.

sD.
caapi
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 185

BeitragVerfasst am: 25 Nov 2006 - 16:58:30    Titel:

Danke.
Du meinst wohl folgende Regel: det (a*A) = a^n * det(A).

Mir ist jetzt aber grad noch was anderes aufgefallen:

Stimmt es wirklich dass für eine antisymmetrische Matrix gilt: B^T = -B?

Weil wenn ich die Matrix B transponiere, dann ändern sich die Elemente in der Hauptdiagonalen ja nicht, wenn ich die Matrix B aber mit -1 multipliziere, ändern sie sich sehr wohl! Demnach würde B^T = -B ja nicht korrekt sein...


Zuletzt bearbeitet von caapi am 25 Nov 2006 - 17:02:50, insgesamt einmal bearbeitet
someDay
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 25 Nov 2006 - 17:00:46    Titel:

caapi hat folgendes geschrieben:

Weil wenn ich die Matrix B transponiere, dann ändern sich die Elemente in der Hauptdiagonalen ja nicht, wenn ich die Matrix B aber mit -1 multiplieziere, ändern sie sich sehr wohl! Demnach würde B^T = -B ja nicht korrekt sein...


Nicht weit genug gedacht - die Werte auf der Hauptdiagonalen sind gerade deswegen ja 0.

sD.
caapi
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 185

BeitragVerfasst am: 25 Nov 2006 - 17:06:47    Titel:

Huh?

Meinst du vielleicht dass

B = (b[i][j]) sei eine antisymmetrische (nxn)-Matrix, mit b[i][j] = -b[j][i]

beinhaltet dass die Werte auf der Hauptdiagonalen 0 sind?
someDay
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 25 Nov 2006 - 17:09:13    Titel:

Offensichtlich ja, da Hauptdiagonale i=j gilt, und b_ii = -b_ii => b_ii = 0.

sD.
caapi
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 185

BeitragVerfasst am: 25 Nov 2006 - 17:11:06    Titel:

Jetzt sind alle Unklarheiten ausgeräumt. Vielen Dank!
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Determinante, antisymmetrische Matrix (Zeigen Sie...)
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum