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Nullstellen Funktion des 3 Grades
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seduisante
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Anmeldungsdatum: 30.01.2006
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 25 Nov 2006 - 18:46:57    Titel: Nullstellen Funktion des 3 Grades

Hallo Leute,
wie kann man die folgende Behauptung begründen, eine Funktion des dritten Grades hat mind. eine reelle Nullstelle

ax³+bx²+cx+d

ich hab das geometrisch bzw zeichnerisch bewiesen mit lim +- unendlichkeit
und dann kann man das noch mit der cardanischen gleichung berechnen
welche möglichkeiten gibt es noch???
j.roke
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Anmeldungsdatum: 23.12.2005
Beiträge: 484

BeitragVerfasst am: 25 Nov 2006 - 19:21:25    Titel:

man zeigt wenn z (aus den komplexen Zahlen) eine Nullstelle eines Polynoms ist, dann ist auch immer z konjugiert eine Nullstelle.

Da du bei ungeraden Polynomen (zB 3ten Grades) ja (in C) genau drei Nullstellen hast, muss eine Nullstelle gleich ihrem eigenen komplex konjugierten sein, also reell.
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 25 Nov 2006 - 19:36:26    Titel:

Hallo !

f(x) := ax³+bx²+cx+d

~ := "konjungiert komplex zu"

Wenn a, b, c, d reelle Zahlen sind, dann gilt logischerweise:
(1) ~f(x) = f(~x)
(2) f(x) = 0 = ~0 = ~f(x)

Sei x0 eine Nullstelle, also f(x0) = 0.
Dann gilt: f(x0) = 0 = ~0 = ~f(x0) = f(~x0)

Ist also eine Nullstelle komplex, so ist auch die konjungiert komplexe eine Nullstelle.
Da nach dem Fundamentalsatz der Algebra unser f(x) 3 Nullstellen hat
und komplexe Nullstellen immer paarweise auftreten,
muss hier mindestens eine Nullstelle reell sein.
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 25 Nov 2006 - 21:34:30    Titel:

nehme mal an, dass es sich um eine reelle Funktion (mit x aus |R ) handle?

f(x)= ax³+bx²+cx+d

1) da weisst du zunächst, dass solche ganzrationalen Funktionen überall stetig sind

2) ausserdem ist bekannt, dass sich f(x)= ax³+bx²+cx+d für x gegen (+-)unendlich gleich verhält wie g(x)= ax³
also zB für a>0 Arrow
g(x) -> - oo wenn x -> - oo .. und
g(x) -> + oo wenn x -> + oo

dh. dann, dass f(x) aus dem III:Quadranten kommt und im I.Quadranten verschwindet..
Folglich MUSS f(x) (wegen der Stetigkeit) die x-Achse zwangsläufig mindestens einmal durchschneiden.
(analoge Überlegung ist natürlich für a<0 machbar)

OK Question
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