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Rationale Zahl
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Gast







BeitragVerfasst am: 23 Nov 2004 - 01:26:44    Titel: Rationale Zahl

Hallo! Gibt es hier irgendeinen Mathefreak, der mir helfen kann?
Die Aufgabe lautet:
Sei x eine Zahl, die zwischen 0 und 1 liegt.
Diese Zahl hat die Dezimalbruchentwicklung: x = 0,z1z2z3...
Zeigen Sie: x ist genau dann rational, wenn diese Entwicklung von einer Stelle N an periodisch ist.
Zb 0, 312898989...
Wie zeige ich das? Confused
hartwork
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Anmeldungsdatum: 21.06.2004
Beiträge: 109
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2004 - 15:20:25    Titel:

ich kann leider nur die eine hälfte anbieten...

Zitat:
periodisch -> rational


allgemein:
a: periodische dezimalzahl
p: periodenlänge

a
= 1 * a
= (10^p - 1)/(10^p - 1) * a
= (10^p - 1) * a /(10^p - 1)
= (10^p * a - a) / (10^p - 1)

ganze zahl im zähler (10^p * a - a enthält keine nachkommastellen),
natürlich zahl im nenner -> rationale zehl.


beispiel:

a = 12,3434...
p = 2

12,3434...
= (100 * 12,3434... - 12,3434...) / 99
= (1234,3434... - 12,3434...) / 99
= 1222 / 99
Mr. Anderson
Gast






BeitragVerfasst am: 24 Nov 2004 - 18:27:35    Titel:

für rational -> periodisch:

r = p/q

mit p aus Z und q aus IN\{0}

die Division von p durch q kann nur q verschiedene Reste bilden. D. h. jeder Rest ist aus GF(q). Dieser Rest wird nun immer wieder mit 10 multipliziert und erneut durch q dividiert, wobei immer neue Reste s enstehen. Das entspricht einer eindeutigen Abbildung

Tau : GF(q) -> GF(q), Tau(s) = 10*s (mod q)

Da Betrag von GF(q) = q gibt es nur endlich viele Bilder für Tau.
Sei also x ein beliebiges Element aus GF(q):

Wir markieren in einer Liste x und Tau(x). Als nächstes betrachten wir Tau(Tau(x)). Diese Zahl ist entweder gleich Tau(x) - dann ist p/q periodisch - oder eine andere Zahl aus GF(q), die wir markieren. Setzen wir das fort, bilden wir spätestens bei Tau^q(x) auf eine Zahl ab, die wir bereits markiert haben. Da Tau eindeutig, beginnt spätestens hier eine Periode. D.h. wenn man durch q teilt, wiederholt sich die Folge spätestens nach q Stellen.
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