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Dimensionen
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mathehelli
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Anmeldungsdatum: 05.11.2006
Beiträge: 77

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2006 - 14:13:48    Titel: Dimensionen

Ich habe noch eine Frage zum Thema Dimension:

Bestimmen Sie die Dimension des folgenden Untervektorraums des K^n bzw. K^mxn

a.) U={x Element K^n: x= (x1,..., xn), x1+...+xn=0}

b.) U= {A Element K^mxn: A=(aij), aij=0 für alle (i,j) mit i ungleich j}

zu a.) habe ich mir überlegt, dass die Dimension 1 sein muss, da ich ja n-1 Unbekannte frei wählen kann, die dann abhängig von der letzten sind. Ist das so richtig, oder falsch? und wie kann ich das "mathematisch richtig" begründen?

und zu b.) habe ich aufgeschnappt, dass die man da vielleicht eine Fallunterscheidung machen könnte und zwar für die Fälle n=m, n<m, n>m. Stimmt das? Und was kommt dann da als Dimension raus?
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2006 - 17:58:14    Titel:

a) Die Dimension bei n-1 frei wählbaren Unbekannten ist n-1.
Mathematisch begründen kannst Du das, in dem Du eine Basis angibst, die in dem Fall z.B. so aussehen könnte:
{(1,0,...,-1), (0,1,0,...,-1), ..., (0,...,0,1,-1)}. Der Vollständigkeit halber könntest Du noch die lin. Unabhängigkeit zeigen, obwohl die offensichtlich ist, und dass die angegebenen Vektoren ein EZS bilden, ist wohl auch klar.

b) Fallunterscheidung ist erst mal eine gute Herangehensweise. m=n ist vielleicht am einfachsten. Überleg Dir mal, wie eine Basis aussehen müsste und aus wievielen Elementen sie demzufolge besteht.
Das Gleiche machst Du mit den Fällen m<n und m>n und fasst Deine Beobachtung anschließend zu einer Aussage zusammen. Probier mal! Ist nicht so schwer. Very Happy
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