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Konvergenz Folgen
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Gast







BeitragVerfasst am: 13 März 2004 - 18:44:55    Titel: Konvergenz Folgen

Hallo, ich habe eine dringende Frage und zwar:
Eine Folge ist ja bekanntlich dann konvergent, wenn für alle epsilon (größer 0) ein N existiert s.d. /an-a/ kleiner epsilon für alle n größergleich N gilt. Gilt dies auch noch für kleinergleich epsilon?
Würde mich sehr über eine Antwort freuen.
Liebe Grüße Casutti
powerpups
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Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 14 März 2004 - 01:57:30    Titel:

Hi!
Ich glaube nicht das gilt. Zumindest laut definition.
epsilon ist doch eine Umgebung. Würde das Gleichheitszeichen gelten, das wäre es erstens keine Umgebung mehr und zweitens würde epsilon dann auch der grenzwert sein. Was allerdings durch eine Abschätzung nach oben, was man ja immer macht, sehr fraglich wäre.
marc
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Anmeldungsdatum: 01.03.2004
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 14 März 2004 - 17:20:55    Titel:

Hallo zusammen,

powerpups hat folgendes geschrieben:
Hi!
Ich glaube nicht das gilt. Zumindest laut definition.
epsilon ist doch eine Umgebung. Würde das Gleichheitszeichen gelten, das wäre es erstens keine Umgebung mehr und zweitens würde epsilon dann auch der grenzwert sein. Was allerdings durch eine Abschätzung nach oben, was man ja immer macht, sehr fraglich wäre.


Ich denke schon, dass dies eine äquivalente Definition wäre. Das ist so gezeigt:

Beh.: "kleiner epsilon"-konvergent <=> "kleiner gleich epsilon"-konvergent

Bew.:
"=>":
Sei epsilon>0 gegeben. Setze epsilon_2 := epsilon/2.
=> |a_n-a|<epsilon_2 (nach der "kleiner epsilon"-Konvergenz)
=> |a_n-a|<epsilon/2
=> |a_n-a|<=epsilon
=> "kleiner gleich epsilon"-konvergent

"<=":
Sei epsilon>0 gegeben. Setze epsilon_2 := epsilon/2.
=> |a_n-a|<=epsilon_2 (nach der "kleiner gleich epsilon"-Konvergenz)
=> |a_n-a|<=epsilon/2
=> |a_n-a|<epsilon
=> "kleiner epsilon"-konvergent
q.e.d.

Alles Gute,
Marc


Zuletzt bearbeitet von marc am 15 März 2004 - 00:03:15, insgesamt einmal bearbeitet
xaggi
Gast






BeitragVerfasst am: 14 März 2004 - 23:49:42    Titel:

Wenn du den Grenzwert tatsächlich auch durch kleiner-gleich definieren könntest, dann könntest du IMO nie ganz ausschließen, selbst bei noch so kleinem epsilon, dass der tatsächliche Grenzwert knapp unter dem angenommenen liegt.
Daher würde ich diese Definition auch als NICHT ZULÄSSIG ansehen.

@marc

wie kommst du von
=> |a_n-a|<epsilon*2
zu
=> |a_n-a|<=epsilon
???
marc
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Anmeldungsdatum: 01.03.2004
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 15 März 2004 - 00:12:21    Titel:

xaggi hat folgendes geschrieben:
Wenn du den Grenzwert tatsächlich auch durch kleiner-gleich definieren könntest, dann könntest du IMO nie ganz ausschließen, selbst bei noch so kleinem epsilon, dass der tatsächliche Grenzwert knapp unter dem angenommenen liegt.
Daher würde ich diese Definition auch als NICHT ZULÄSSIG ansehen.


Ich bin immer noch der Meinung, dass die Definitionen äquivalent sind. Das liegt im Wesentlichen daran, dass es in jedem offenen epsilon-Ball B(a;r_1) einen abgeschlossenen epsilon-Ball B(a;r_2) gibt und umgekehrt in jedem abgeschlossenen einen offenen. Man nehme jeweils nur die Hälfte der Radiuses: r_2:=r_1/2.

Zitat:

@marc

wie kommst du von
=> |a_n-a|<epsilon*2
zu
=> |a_n-a|<=epsilon
???


Danke für den Hinweis, das war Unsinn (und habe ich in meinem ursprünglichen Beitrag verbessert).

Alles Gute,
Marc.
Gast







BeitragVerfasst am: 15 März 2004 - 16:25:42    Titel:

Hallo viele Dank für eure Antworten.
Ich weiß sicher, dass das "kleinergleich" auch richtig ist. War mir nur nicht ganz im klaren, wie man es am besten begründet. Ich denke die Antwort stimmt.
Also nochmals vielen Dank!
Lg Casutti
xaggi
Gast






BeitragVerfasst am: 15 März 2004 - 18:04:59    Titel:

Sorry, aber ich bin immer noch misstrauisch.

Es sei e>0 beliebig vorgegeben.
Außerdem eine folge a(n) = 0

Behauptung: e ist ein Grenzwert von a(n)=0

Beweis:
|a(n) - g| <= e

|0 - e| <= e
e <= e

gültig für alle e>0
q.e.d.

Demnach hätte die Nullfolge a(n)=0 unendlich viele Grenzwerte.
Mit der "richtigen" Grenzwertdefinition hat sie auch so nur den Grenzwert g=0, wie es sich gehört.

Hab ich einen Fehler gemacht?
marc
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Anmeldungsdatum: 01.03.2004
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 15 März 2004 - 18:33:33    Titel:

Hallo xaggi,

xaggi hat folgendes geschrieben:
Sorry, aber ich bin immer noch misstrauisch.

Hab ich einen Fehler gemacht?


Ja, denn die Def. des Grenzwertes fordert ja, dass für jedes e ein N gefunden werden muss.

In deinem Fall scheitert aber die Ungleichung doch z.B. bei e_2:=e/2:

|0 - e| <= e_2
e <= e/2
2e <= e
e <= 0

Also war e nicht der Grenzwert.

Viele Grüße,
Marc
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