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Eigenvektoren
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XHatebreedX
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Anmeldungsdatum: 22.09.2006
Beiträge: 120

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2006 - 16:34:52    Titel: Eigenvektoren

Hallo,
Ich dreh hier am Rad. Ich verstehe es einfach nicht.
Wir haben die Matrix
-2 -5
1 4

Eigenwerte sind dann -1 und 3. Kein problem. Jetzt nehmen wir die Gleichung
und kriegen wenn man in 1 5-lamda 1 einsetzt ja
x1+5x2=0

Alles klar.... Jetzt steht hier das man eine Unbekannte wählen kann. Auch super Bis hierhin kein Problem

also wird x2 zu alpha(geschr. @)

Erstmal wieso x2. Könnte man da auch x1 nehmen und wie kommen wir dann auf den Einheitsvektor. Ich hab diese Seite jetzt wirklixch 20 mal gelesen aber diesen Schritt verstehe ich einfach nicht..es wäre nett wenn mir das mal einer damit vorrechnen könnte wie das aussieht wenn man x1=@ setzt und x2=@ weil da doch sonst ein anderrer Wert herauskommt oder täusche ich mich da?
Gruss Hatebreed
XHatebreedX
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Anmeldungsdatum: 22.09.2006
Beiträge: 120

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2006 - 14:24:22    Titel:

Wieso kann mir das denn keiner erklären???
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2006 - 15:08:26    Titel: Re: Eigenvektoren

XHatebreedX hat folgendes geschrieben:
Eigenwerte sind dann -1 und 3.
Jupp.
XHatebreedX hat folgendes geschrieben:
wieso x2. Könnte man da auch x1 nehmen
Ja.
XHatebreedX hat folgendes geschrieben:
und wie kommen wir dann auf den Einheitsvektor.
Du ziehst von der Ausgangsmatrix die mit einem Eigenwert multiplizierte Einheitsmatrix ab:
Code:

-2 -5  -  -1  0  =  -1 -5
 1  4      0 -1      1  5

Das setzt man eben dem Nullvektor gleich. Beide Zeilen entsprechen dann:
x1+5x2=0

Für x2=a ergibt sich x1=-5x2=-5a. Für x1=a ergibt sich x2=-x1/5=-a/5.

Weil bei der Wahl x2=a ein schöneres (ganzzahliges) Ergebnis rauskommt, wählt man x2.

Als Ergebnis sind alle Vektoren der Form (-5a,a)=a*(-5,1) mit a∈ℝ\{0} Eigenvektoren zum Eigenwert -1.
XHatebreedX
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Anmeldungsdatum: 22.09.2006
Beiträge: 120

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2006 - 19:26:19    Titel:

wäre bei
-5 0
-9 -8
mit reelle Eigenwerte:
{-8; -5}

Eigenvektor zu Eigenwert -5:
(-1; 3)
auch 1 und -3 richtig? Ich verstehe nich wieso ich das nich verstehe aber wenn man 6 Stunden an ein sonner dämlchen Sache sitzt dann regt einen das ziemlich auf
XHatebreedX
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Anmeldungsdatum: 22.09.2006
Beiträge: 120

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2006 - 19:49:31    Titel:

also ich will nur wissen ob die eine anderre Lösung auch richtig wäre...ob es also meherre Variationen gibt..ich bitte um Antwort mir lässt das Thema keien ruhe mehr
XHatebreedX
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Anmeldungsdatum: 22.09.2006
Beiträge: 120

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 13:59:53    Titel:

kannsu nich ebend sagen das das so richtig ist?
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2006 - 01:34:56    Titel:

XHatebreedX hat folgendes geschrieben:
auch 1 und -3 richtig?
Ja, (1|-3) ist auch ein Eigenvektor, weil es ein Vielfaches von (-1|3) ist und Vielfache von Eigenvektoren (bis auf das Nullfache) auch Eigenvektoren zum selben Eigenwert sind.
(1|-3)=(-1)*(-1|3)
und allgemeiner gilt für b*(-1|3), b≠0:
A*(b*(1|-3))=b*(A*(-1|3))=b*(-5)*(-1|3)=(5b|-15b)

PS: Hab die pn erst eben gesehen.
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