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Duale Abbildung - Beweiskorrektur
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info-neuling
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Anmeldungsdatum: 20.10.2006
Beiträge: 56

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2006 - 20:07:57    Titel: Duale Abbildung - Beweiskorrektur

Huhu, ich habe eine Aufgabe auf meinen Übungsblatt, wo ich verscheidene Sachen beweisen soll. Hab die Beweise jetzt fertig, aber bin mir extrem unsicher, da ich das Thema nicht so gut verstehe. Könnt ihr mal drübergucken, ob die beweise so gingen? :

Die Aufgabe:

Es seien V,W Vektorräume über dem Körper K. Für jede lineare Abbildung f € Hom_k (V,W) sei f* € Hom_k (W*,V*) die zu f duale Abbildung. Zeigen sie:

i) (f+g)* = f* + g* für alle f,g € Hom_k (V,W)

ii) (af)* = af* für alle f € Hom_k (V,W), a € K.

iii) (f ° g)* = g* ° f* für alle...

iv)( id_v )* = id_v*

v) Ist f € Hom_k (V,W) invertierbar, so ist auch f* invertierbar, und es gilt f* hoch -1 = (f hoch -1)*

Meine Beweise:


i)
Es gilt zu zeigen:
(f+g)* (w) = f* (w) + g(w)

LHS: (f+g)* (w)
<-> (f+g)* (w)(v) (Wie komme ich auf das (v) ? Haben nur so nen
ähnlichen Beweis in der Vorlesung gehabt und deshalb
hab ich das versucht ziemlich analog zu machen und
hab mir auch einfach nen (v) aus dem Nichts
"herbeigezaubert" Razz)
<-> ((w)°(f+g))(v)
<-> (w)((f+g)(v))
<-> (w)(f(v)+g(v))
<-> f*(w)(v) + g*(w)(v), da dies für alle v € V gilt folgt daraus ->
f*(w) + g* (w) = RHS, was zu beweisen war.

Wir haben so nen ähnlichen beweis gemacht, aber auch nur entfernt ähnlich und da haben wir "da dies für alle v € V gilt folgt daraus ->" zum Schluss gesagt, damit das v wegfällt. Kann ich das hier auch so machen und was genau heißt das denn? Verstehe nicht wieso es dadurch weggelassen werden kann.

ii) Definition für euch: a = Alpha Razz

(af)* = af*
zu zeigen:
(af)(w)=af(w)

LHS (v):
(af)(w)(v)
<-> (w)((af)(v))
<-> (w)(a(f)(v))
<-> (w)(a f(v))
<-> f*(w)(v)a
<-> a f(w)(v), da dies für alle v € V gilt folgt daraus ->
af*(w), was zu beweisen war.

iii)
(f°g)* = g* °f* für alle Hom_k(V,V)

zu zeigen:
(f°g)*(v1) = g*(v1) °f*(v1)
LHS:
(f°g)*(v1)
<-> (f°g)*(v1)(v2)
<-> (v1)°(f°g)(v2)
<-> (v1)(f(g(v2)))
<-> (v1)(f(v2))
<-> (v1)(v2)
<-> (v3)

RHS:
g*(v1) °f*(v1)
<-> g*(v1)(v2) °f*(v1)(v2)
<-> (v1)(g(v2)) ° (v1)(f(v2))
<-> (v1) ((g(v2))°(f(v2)))
<-> (v1) (v2 ° v2)
<-> (v1) (v2)
<-> (v3)

-> LHS = RHS , was zu beweisen war.

Wären die drei Beweise so ok?


zu v) Hab ich auch nen Ansatz, würde der stimmen?
Eine Abbildung ist invertierbar, wenn die Abbildungsmatrix invertierbar ist.
Es gelte: f: V -> W
Es gelte weiterhin: f: v * A -> w v€ V w € W A=Matrix
Wenn A invertierbar gilt folglich die Umkehrung:
g: w * A hoch (-1) -> v g= f*.
Da die Abbildungsmatrix von f* die Inverse von der Abbildungsmatrix von f ist, ist auch die Abbildungsmatrix von f* invertierbar, da gilt:
A * A hoch (-1) = A hoch (-1) * A = I.
Die duale Abbildung bildet w -> v ab. Die Inverse also v-> w.
Die Abbildung bildet v -> w ab, die Inverse also w->v und davon die duale wiederum v ->w. Folglich bildet sowohl (f*) hoch (-1) , also auch f hoch (-1)* von v->w ab, was zu beweisen war. Wär das auch ok?
Zu iv) find ich nochnichtmal nen Ansatz.

Hoffentlich stimmen wenigstens die anderen Smile

MfG Info-Neuling
info-neuling
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Anmeldungsdatum: 20.10.2006
Beiträge: 56

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 00:00:57    Titel:

Kann mir die keiner absegnen?^^ Ist soooo viel falsch, dass ihr erst gar nicht antworten wollt? oO
info-neuling
Junior Member
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Anmeldungsdatum: 20.10.2006
Beiträge: 56

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 13:12:39    Titel:

Wieso antwortet bloß keiner? Sad
Morgen ist schon Abgabe...
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