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Carl-Friedrich-Gauß-Preis für Kiyoshi Itô

22.08.2006 - (idw) DFG Forschungszentrum MATHEON Mathematik für Schlüsseltechnologien

Der neu gestiftete Gauß-Preis für mathematische Forschung, die besondere Auswirkungen außerhalb der Mathematik hat, wird in diesem Jahr erstmals verliehen. Preisträger ist der 90-jährige japanische Mathematiker Kiyoshi Itô. König Juan Carlos von Spanien überreichte den Preis heute auf der Eröffnungsfeier des Internationalen Mathematikerkongresses in Madrid. Mathematik ist nicht einfach ein Spiel mit eigens dafür hergestellten Glasperlen; sie wirkt weit über sich selbst hinaus in vielen Bereichen von Wissenschaft und Technik bis hin zu alltäglichen Anwendungen. Um dies der Öffentlichkeit beispielhaft deutlich zu machen, wurde ein neuer Preis ins Leben gerufen und nach Gauß benannt. Denn Carl Friedrich Gauß (1777-1855) gilt nicht nur als einer der größten Mathematiker aller Zeiten; er vereinigt auch in seiner Person beispielhaft beide Seiten der Mathematik. Er führte einerseits die Zahlentheorie zu höchster Blüte, die - prachtvoll und nutzlos zugleich - "Königin der Mathematik" genannt wurde und erst in den letzten Jahrzehnten zu Anwendbarkeitsehren kam. Andererseits nutzt jeder, der etwas zu messen hat, Gaußens "Methode der kleinsten Quadrate", um aus seinen fehlerbehafteten Messwerten das Beste herauszuholen.

Der Gauß-Preis wird gemeinsam von der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV) und der International Mathematical Union (IMU) vergeben und von der DMV verwaltet. Er besteht aus einer Medaille und einem Geldbetrag von derzeit 10000 Euro. Die finanzielle Basis bildet ein Überschuss, den die Organisatoren des Internationalen Mathematikerkongresses 1998 in Berlin erwirtschaftet haben.

Die Arbeit des Preisträgers Kiyoshi Itô ist ohne jeden Zweifel mit dem alltäglichen Leben verknüpft. Es geht um den Zufall, jene kleinen, unvorhersehbaren Einflüsse, die darüber entscheiden, in welches Fach die Roulettekugel fällt oder welche Seite beim Würfel am Ende nach oben zeigt. Aus den Anfangsbedingungen eines Systems auf dessen zukünftiges Verhalten zu schließen ist in solchen Situationen schlicht unmöglich; aber immerhin kann man statistische Aussagen treffen. So kann man die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit drei Würfen eines Würfels 18 Punkte zu errei-chen, die durchschnittliche Zeit, die vergeht, bis rein durch Zufall das Anfangsvermögen eines Roulettespielers auf null abgesunken ist, oder die Wahrscheinlichkeit, dass ein Behandlungserfolg mit einem neuen Medikament nicht dem Zufall zu verdanken ist.

Itôs Werk befasst sich nun mit dem Zufall in seiner reinsten und zugleich wildesten Form. Im Gegensatz zum Würfelspiel, bei dem er sich nur in Form säuberlich getrennter, "diskreter" Ereignisse bemerkbar macht, kann der wilde Zufall zu jedem beliebigen Zeitpunkt zuschlagen. Das Paradebeispiel ist die so genannte Brown'sche Bewegung: Betrachtet man Pollenkörner oder Staubteilchen in Wasser unter dem Mikroskop, so vollführen sie eine wilde Zitterbewegung, die von den Stößen der umgebenden Wassermoleküle herrührt.

Die mathematische Beschreibung dieser Bewegung nennt man einen stochastischen Prozess. Der "wilde Zufall" ist blind und gedächtnislos: Er schert sich weder darum, wo er zuschlägt, noch wann er das letzte Mal zugeschlagen hat. Das leuchtet ein - woher sollten die Wassermoleküle das wissen? -, macht aber den Weg des Staubteilchens zu einem problematischen Objekt. Ein ganzer Zweig der Mathematik, die klassische Analysis, lebt davon, dass man an Kurven Tangenten legen kann. Genau das gelingt bei dem Pfad einer Brown'schen Bewegung in keinem Punkt. Diese Kurve ist nirgends differenzierbar, mehr noch: Sie ist auch unendlich lang.

Etwas elementare Statistik kann man auch mit solchen Kurven noch betreiben. So weiß man, dass der Abstand des Staubteilchens von seinem Ausgangspunkt proportional mit der Wurzel aus der Zeit anwächst. Aber wenn zufällige und klassische (deterministische) Kräfte zusammenwirken oder man steuernd auf den Prozess einwirken will - zum Beispiel um die Effekte des Zufalls abzumildern -, geraten die klassischen Mittel sehr bald an ihre Grenzen.

An dieser Stelle hat Itô die Möglichkeiten der Mathematik in bedeutendem Maße erweitert. In den vierziger Jahren entwickelte er einen völlig neuen Formalismus, die stochastische Analysis. Dadurch wurde es möglich, das gleichzeitige Wirken klassischer und zufälliger Kräfte in einer so genannten stochastischen Differenzialgleichung auszudrücken und - in einem gewissen Sinne - diese Gleichungen auch zu lösen.

Die Theorie ist so abstrakt, dass ihre Anwendung nicht auf Staubteilchen in Wasser beschränkt ist. Was einen Aktienkurs auf und ab schwanken lässt, ist mathematisch nicht wesentlich von einer Brown'schen Bewegung verschieden. Wer die Auswirkungen solcher Schwankungen auf das eigene Portefeuille in Grenzen halten will, muss - zumindest theoretisch - "in kontinuierlicher Zeit Handel treiben". Aus Itôs Theorie entstand eine Strategie für diese Form des Handels und daraus in einem weiteren Schritt eine Formel für den finanziellen Aufwand, den eine solche Strategie erfordert. Das wiederum ergibt einen Preis für ein Optionsgeschäft. Das Endergebnis dieser theoretischen Arbeiten ist die inzwischen berühmte Formel von Black und Scholes, für die 1997 der Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften vergeben wurde. Sie liegt heute praktisch allen Optionsgeschäften zugrunde.

Darüber hinaus ist Itôs Theorie auf zufällige Schwankungen ganz anderer Art anwendbar. So kann man Wahrscheinlichkeiten dafür berechnen, dass sich ein bestimmtes Erbmerkmal in einer Population von Pflanzen oder Tieren auf die Dauer durchsetzt oder dass die ganze Population ausstirbt.

Innerhalb der Mathematik selbst hat sich das Werk Itôs nur zögerlich durchgesetzt, unter anderem, weil Japan während des Zweiten Weltkriegs von Rest der Welt weit gehend isoliert war. Erst 1954 kam Itô ans Institute for Advanced Studies in Princeton und konnte seine Ergebnisse der mathematischen Öffentlichkeit vermitteln. Heute ist die stochastische Analysis unbestritten ein bedeutender, reichhaltiger und fruchtbarer Zweig der Mathematik mit großer Ausstrahlung auf "die Technik, das Geschäftsleben und den Alltag", wie die Statuten des Gauß-Preises es erfordern.

Weitere Informationen: http://www.matheon.de http://www.icm2006.org
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